MATEMATICA E INFORMATICAMatematicaAnno accademico 2025/2026
9799375 - Geometria Superiore
Docente: SANTI DOMENICO SPADARO
Risultati di apprendimento attesi
Il corso è un'introduzione agli aspetti combinatorici della teoria degli insiemi. Gli studenti apprenderanno ad usare strumenti come il teorema di Ramsey, il Delta-system Lemma e il pressing-down Lemma e metodi per la dimostrazione di risultati di consistenza e indipendenza che oggi trovano applicazioni nelle più disparate aree della matematica, dalla topologia alla teoria della misura, dalla teoria dei gruppi alla teoria delle algebre C*.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L' insegnamento consiste di lezioni frontali teoriche tenute dal docente ed esercitazioni in cui verranno discussi i problemi assegnati durante il corso. Gli studenti verranno invitati a partecipare attivamente presentando le loro soluzioni alla lavagna.
Prerequisiti richiesti
Conoscenza di base degli assiomi della teoria degli insiemi, dimestichezza con gli elementi dell'aritmetica ordinale e cardinale. A tale scopo è sufficiente avere seguito (o seguire in contemporanea) il Modulo 1 del corso d'Istituzioni di Geometria Superiore (Set-theoretic Topology). Basi solide di topologia generale.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Il programma di massima sarà il seguente:
- Teoria di Ramsey (versione finita e infinita del teorema di Ramsey, il Teorema di Erdos-Rado. Il Teorema di Schur e un'applicazione della teoria di Ramsey in teoria dei numeri).
- L'Assioma di Martin e alcune sue conseguenze in topologia (dimostrazione della consistenza dell'Ipotesi di Suslin), teoria degli insiemi (costruzione di un ultrafiltro di Ramsey e regolarità del continuo) e teoria della misura.
- Invarianti cardinali del continuo, il diagramma di Cichoń.
- Insiemi club e stazionari, il pressing-down Lemma. Dimostrazione del Teorema di Silver. Il principio Diamond di Jensen.
- Alberi. Alberi di Aronszajin e Suslin. Dimostrazione dell'indipendenza dell'Ipotesi di Suslin.
- Introduzione al metodo del "forcing" di Paul Cohen. Dimostrazione dell'indipendenza dell'Ipotesi del Continuo.
Testi di riferimento
- Appunti del docente.
- T. Jech, "Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded", Springer, 2003.
- K. Kunen, "Set Theory: An Introduction to Independence Proofs", North Holland, 1986.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Teoria di Ramsey. | Appunti. |
| 2 | L'Assioma di Martin. | Appunti. |
| 3 | Invarianti cardinali del continuo. | Appunti. |
| 4 | Insiemi club e stazionari. | Appunti. |
| 5 | Alberi. | Appunti. |
| 6 | Il metodo del forcing. | Appunti. |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in un colloquio che potrà vertere su tutti gli argomenti del corso, e sonderà tanto la conoscenza dei contenuti principali del corso quanto la padronanza delle tecniche apprese.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Le domande potranno riguardare l'intero programma del corso.
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