1003400 - ANALISI MATEMATICA II M - Z

Il corso di Analisi Matematica II ha la finalità di fornire le conoscenze e la comprensione dei concetti
matematici relativi al programma e cioè: successioni e serie di funzioni, limiti, derivate ed estremi di
funzioni di più variabili, equazioni e sistemi di equazioni differenziali, teoria dell' integrazione secondo
Lebesgue, curve e forme differenziali.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:
1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente
apprenderà alcuni concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di
manipolazione di oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, i limiti, le derivate e gli integrali per le
funzioni reali di più variabili reali.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and
understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi
basilari di modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dall'Ingegneria.
3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire
autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà
fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in
modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
4. Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri
consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.
Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e
chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.
5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento

del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni
guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti
necessari per la loro comprensione.

L'insegnamento viene svolto mediante lezioni di teoria ed esercitazioni, alla lavagna. Occasionalmente
potranno essere usati ausili multimediali. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a
distanza potranno essere introdotte le
necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel Syllabus.

E' indispensabile padroneggiare tutti i concetti e le tipologie di esercizi di un programma di Analisi
Matematica 1, e in particolare: calcolare l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme numerico,
calcolare i limiti di funzioni e di successioni, riconoscere i punti di continuità delle funzioni, classificare le
singolarità delle funzioni, calcolare le derivate delle funzioni, determinare i punti di minimo e di massimo
delle funzioni, studiare il carattere di una serie numerica, calcolare integrali definiti ed indefiniti. E' utile
la conoscenza dei concetti elementari della teoria degli spazi vettoriali. E' importante padroneggiare le
basi della geometria della geometria analitica nel piano, ed è utile conscere gli elementi di geometria
analitica nello spazio tridimensionale.

La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata, per sostenere la prova di
esame.

1. SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. (2 cfu). Successioni di funzioni reali di variabile reale. Convergenza
   puntuale ed uniforme. Caratterizzazione della convergenza uniforme mediante la successione degli
   estremi superiori. Criterio di convergenza puntuale ed uniforme di Cauchy. Teoremi dello scambio dei
   limiti*, di continuità, di derivabilità*, di passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Serie di funzioni reali
   di variabile reale. Convergenz puntuale e convergenza uniforme. Criterio di Cauchy. Convergenza assoluta. Convergenza totale.
   Teorema di Weierstrass. Confronto fra i vari tipi di convergenza. Teoremi di continuità, derivabilità e di
   integrazione per serie. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema del raggio. Teorema di Cauchy-
   Hadamard*. Teorema di Abel*. Proprietà della funzione somma di una serie di potenze. Serie di Taylor.
   Condizioni per la sviluppabilità in serie di Taylor. Sviluppi notevoli. Serie di Fourier. Condizioni sufficienti
   per la convergenza delle serie di Fourier*

2. FUNZIONI DI PIU' VARIABILI. (2 cfu). Spazi euclidei. Funzioni tra spazi euclidei. Operazioni tra funzioni.
   Funzione composta e funzione inversa. Limiti di funzioni tra spazi euclidei. Successioni di vettori. Teoremi che caratterizzano i limiti mediante le successioni e le restrizioni. Funzioni continue. Funzioni continue e connessione. Teorema di esistenza degli zeri. Funzioni continue e compattezza. Teorema di Heine-Borel*.Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor*. Funzioni lipschitziane. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie di differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz*. Formula di Taylor al primo e al secondo ordine. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero*. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica*. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizioni sufficienti del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti. Funzioni definite implicitamente (per funzioni scalari di due variabili). Teorema di U. Dini (per funzioni scalari di due variabili). Funzioni definite implicitamente (per funzioni scalari di n+1 variabili). Teorema di U. Dini (per funzioni scalari di n+1 variabili)*.Funzioni definite implicitamente (caso vettoriale). Teorema di U. Dini (caso vettoriale)*.

3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. (2 cfu). Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni
   differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi.
   Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il
   problema di Cauchy*. Condizione sufficiente per la lipschitzianeità. Sistemi lineari. Globalità della
   soluzione di un sistema lineare. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di
   Lagrange. Sistemi lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni nel
   caso di autovalori semplici. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore. Equazione di Eulero.
   Risoluzione di alcuni tipi particolari di equazioni differenziali non lineari: equazioni a variabili
   separabili;equazioni omogenee; equazioni lineari del primo ordine; equazioni di Bernoulli.

4. MISURA E INTEGRAZIONE. (2 cfu). Cenni sulla teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura
   elementare degli intervalli e dei pluriintervalli. Misura degli aperti limitati e dei compatti. Nozione di
   misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: numerabile additività*, monotonia,
   continuità verso l'alto*, verso il basso*, sottrattività Completezza della misura. Funzioni misurabili. Cenni
   sulla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n: Integrazione delle funzioni limitate negli insiemi
   misurabili di misura finita. Teorema della media. Integrazione di arbitrarie funzioni misurabili definite in
   insiemi misurabili. Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite sotto il
   segno di integrale. Teoremi di B.Levi*, e di Lebesgue*. Integrazione per serie. Teorema di invadenza.
   Teorema di derivazione sotto il segno di integrale*. Teoremi di Fubini* e di Tonelli*. Formule di riduzione
   per gli integrali doppi e tripli. Cambiamenti di variabili negli integrali*. Omotetia in R^n. Coordinate polari
   nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

5. CURVE E FORME DIFFERENZIALI. (1 cfu). Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari. Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari*. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Definizione di Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè *. Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi *. Domini regolari. Formule di Gauss Green *. Equazioni differenziali esatte.

N.B: Per i teoremi seguiti da asterisco non è richiesta la dimostrazione.

1. Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 2, Monduzzi Editoriale.

2. Bramanti M., Pagani C.D., Salsa S., Analisi Matematica 2, Zanichelli.

3. Pagani C.D., Salsa S., Analisi Matematica 1, Zanichelli , seconda edizione, 2015

4. Pagani C.D., S. Salsa S., Analisi Matematica 2, Zanichelli , seconda edizione, 2016

5. Fanciullo M. S., Giacobbe A., Raciti F., Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical Books.

6. D'Apice C., Durante T., Manzo R., Verso l'esame di Matematica 2, Maggioli editore.

7. D'Apice C., Manzo R., Verso l'esame di Matematica 3, Maggioli editore.

L'esame consiste in una prova scritta e in una facoltativa prova orale. La prova scritta consta di due parti
ed ha la durata di due ore. Nella prima parte si assegnano due definizioni e due quesiti teorici. Nella
seconda parte si assegnano 3 esercizi. Requisiti minimi per il superamento della prova scritta: dare una
delle due definizioni, risolvere uno dei due quesiti teorici, svolgere correttamente uno dei tre esercizi. Il
voto massimo conseguibile, qualora si svolgessero correttamente tutti i quesiti presenti, sarà 26/30.
Superato l'esame scritto, la materia può essere registrata (con il voto dello scritto) oppure si può
sostenere un esame orale su tutto il programma svolto a lezione. L'esame orale permette di aumentare il
voto ottenuto con la prova scritta, ma potrebbe anche determinare una diminuzione dello stesso e nel
caso in cui non si risponda, in maniera precisa e corretta, ad alcuna delle domande poste può portare
all'annullamento del risultato acquisito nella prova scritta, con conseguente necessità di ripetere la
stessa prova.

Raggio di convergenza per una serie di potenze.
Teorema di esistenza degli zeri.
Teorema del gradiente nullo.
Funzioni misurabili.
Sistemi di equazioni differenziali lineari.
Lo studente potrà reperire esempi di esercizi su Teams.