1016245 - ANALISI FUNZIONALE

Il corso contribuisce all'acquisizione delle competenze teoriche e logiche per la formazione del laureato in Matematica. In particolare, fornisce gli strumenti di  base dell'Analisi Funzionale, utili per chi vuole intraprendere  l'attività di ricerca. Saranno presentate  strutture più ampie rispetto a quelle che lo studente già conosce dagli studi precedenti,  quali gli spazi vettoriali topologici e  gli spazi localmente convessi. Sarà fatto uno studio  approfondito degli spazi di Banach e degli operatori tra spazi di Banach.  Saranno presentate le topologie deboli e classi di spazi di Banach particolarmente importanti: gli spazi riflessivi e gli spazi di Hilbert, gli spazi di Sobolev. Inoltre, si applicheranno alcuni risultati classici di Analisi Funzionale  allo studio di PDEs.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

 Lo studente conoscerà i concetti fondamentali e i teoremi classici dell'Analisi Funzionale e  alcune importanti classi di spazi,  quali gli spazi riflessivi,  di Hilbert e di Sobolev.  Imparerà ad operare negli spazi vettoriali topologici e con gli operatori lineari e continui tra di essi e  ad usare le topologie deboli.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Lo studente sarà in grado  di applicare i risultati generali appresi alla risoluzione di alcuni esercizi teorici e/o  tecnici.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare autonomamente alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni e ad esporli in un seminario.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre i contenuti del corso in maniera chiara, puntuale e sintetica,  con rigore e spirito critico.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di riflettere sulle dimostrazioni e di padroneggiare alcune tecniche che possono essere utili per affrontare altri  problemi.

Spazi vettoriali topologici. Definizione e caratterizzazione delle topologie vettoriali. Caratterizzazione
degli spazi vettoriali topologici di Hausdorff.  Spazi vettoriali topologici localmente
convessi e loro caratterizzazione. Topologia della convergenza uniforme sui compatti dello spazio C(S)  con S aperto di  R_n. Topologia vettoriale non localmente convessa sullo spazio C([0,1]). Metrizzabilità degli spazi localmente convessi. Normabilità di uno spazio vettoriale topologico. Spazi normati. Spazi di Banach. Spazi vettoriali topologici di Hausdorff aventi dimensione finita. Caratterizzazione di Riesz della finito-dimensionalità di uno spazio normato.  Funzionale di Minkowski. Teorema di Hahn-Banach e suoi corollari. Teoremi di separazione.

Operatori e funzionali lineari. Vari criteri di continuità per operatori e funzionali lineari. Lo spazio degli operatori
lineari e continui tra due spazi normati. Il teorema della Mappa aperta ed applicazioni. Il teorema del grafico chiuso. Il principio dell' uniforme limitatezza. Il teorema di Banach-Steinhaus. Aggiunto di un operatore.

Topologie deboli. La topologia debole di uno spazio vettoriale topologico di Hausdorff  localmente convesso.
Coincidenza della chiusura  e della chiusura  debole di un insieme convesso.
Teorema di Mazur. Minimizzazione dei funzionali quasi convessi semicontinui inferiormente
su insiemi debolmente compatti. Confronto tra la topologia forte,
la topologia debole e la topologia debole stella nel duale topologico di uno spazio normato.
Teorema di Krein-Smulyan. Teorema di Eberlein-Smulyan. Caratterizzazione della finito-dimensionalità di uno spazio normato mediante la coincidenza della topologia forte e della topologia debole. Il teorema di Banach Alaoglu. Il teorema di Goldstine.

Spazi di Banach riflessivi. Le caratterizzazioni di Kakutani e di James degli spazi di Banach riflessivi. Caratterizzazione
degli spazi di Banach riflessivi e separabili. Metrizzabilità degli insiemi debolmente compatti
negli spazi normati separabili. Separabilità e topologie deboli. Spazi uniformementi
convessi. Teorema di Milman-Pettis.

Spazi di Hilbert. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione delle
norme pre-hilbertiane. Spazi di Hilbert. Teorema della proiezione. Rappresentazione di uno spazio di Hilbert come
somma diretta di un suo sottospazio vettoriale chiuso e del complemento ortogonale di
questo. Il teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli
spazi di Hilbert. Teorema di Stampacchia e di Lax Milgram. Insiemi ortonormali. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di basi ortonormali per gli spazi di Hilbert separabili.

Spazi di Sobolev. Derivate deboli. Lo spazio W^{1,p}: definizione e proprietà. Caratterizzazioni delle funzioni in W^{1,p}. teoremi di immersione.Teorema di Rellich- Kondrachov. Lo spazio W^{1,p}_0. Formulazione variazionale di problemi ai limiti.