1000951 - ANALISI MATEMATICA I P - Z

Il corso di Analisi Matematica I ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali,
sull'insieme dei numeri complessi e sul calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile
reale.
In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente
   apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di
   manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri
   complessi, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale, le serie
   numeriche.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and
   understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi
   basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire
   autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà
   fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in
   modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
4. Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri
   consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.
   Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e
   chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà
   imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di
   perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni
   guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti
   necessari per la loro comprensione.

Il corso è diviso in due parti. La prima parte riguarda la costruzione dei numeri reali, i numeri complessi,
le nozioni basilari di topologia, le funzioni di una variabile reale, le successioni numeriche. La seconda
parte riguarda le serie numeriche e gli integrali delle funzioni reali di una variabile reale. Le lezioni sono
accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le
necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di base di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria.

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del
corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza non è
richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di
esame.

1. SISTEMI NUMERICI. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo superiore e estremo inferiore. Proprietà
ell'estremo superiore. Campi e Campi ordinati*. Il Campo dei numeri reali. Proprietà di Archimede. Densità.
Radice n-esima. Potenza ad esponente razionale e reale. Logaritmo di un numero reale positivo. Il sistema
esteso dei numeri reali. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi.
Radici nel campo complesso.
2. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Cenni di topologia. Teorema di Bolzano Weierstrass*.
Funzioni reali di una variabile reale. Operazioni tra funzioni. Funzione inversa e funzione composta. Estremi
assoluti e relativi di una funzione. Limiti delle funzioni reali. Unicità del limite. Teorema di permanenza del
segno. Teorema di confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti delle funzioni monotone.
Infinitesimi e infiniti*. Asintoti. Successioni numeriche. Limiti di successioni. Caratterizzazione della nozione di
limite di una funzione in termini di limiti di successioni*. Il numero di Nepero*. Limiti notevoli. Applicazione al
calcolo di limiti. Successioni estratte*. Massimo e minimo limite di una successione*. Successioni di Cauchy*.
Criterio di Cauchy per la convergenza di una successione*.
3. FUNZIONI CONTINUE. Definizione di continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni
composte e delle funzioni inverse. Caratterizzazione della continuità mediante le successioni*. Singolarità di
una funzione*. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux sui valori
intermedi*. Uniforme continuità*. Teorema di Cantor*. Altre condizioni sufficienti per l'uniforme continuità*.
4. CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivabilità e di derivata: suo significato geometrico. Punti angolosi e
cuspidi. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle
funzioni composte e delle funzioni inverse. Differenziale*. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi
relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per le
funzioni derivabili. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Derivate di ordine superiore. Teoremi di de
L'Hopital*. La formula di Taylor*. Funzioni convesse in un intervallo*. Studio qualitativo del grafico di una
funzione. Successioni ricorsive*.
5.  INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN. Integrabilità ed integrale secondo Riemann. Definizioni, proprietà e

significato geometrico. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone.
Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate*. Esempio di funzione non integrabile*. Proprietà
degli integrali. Integrabilità del valore assoluto di una funzione integrabile*. Teorema del valore medio.
Primitive. Funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema 

di Torricelli. Integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.

Integrazione per razionalizzazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti*. Integrali impropri*.
Criteri di sommabilità e di assoluta sommabilità*. Integrali impropri e serie*.

SERIE NUMERICHE. Carattere di una serie. Serie resto*. Operazioni con le serie. Serie armonica, di Mengoli* e
geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy*. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non
negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Criterio di Raabe*. Criterio di condensazione di
Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Teorema di Leibniz. Proprietà
associativa e commutativa*. Serie prodotto secondo Cauchy*. Teorema di Mertens*.
6. SERIE NUMERICHE. Carattere di una serie. Serie resto*. Operazioni con le serie. Serie armonica, di Mengoli* e
geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy*. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non
negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Criterio di Raabe*. Criterio di condensazione di
Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Teorema di Leibniz. Proprietà
associativa e commutativa*. Serie prodotto secondo Cauchy*. Teorema di Mertens*. Integrali impropri e serie*.

N.B.: Gli argomenti contrassegnati con * non sono conoscenze minime.

1.Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale.
2. Di Fazio G., Zamboni P., Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi
Matematica 1, EdiSES.
3. D'Apice C., Manzo R. Verso l'esame di Matematica, vol. 1 e 2,
Maggioli editore.

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante tre modalità.

Modalità A: prove in itinere scritte e prova orale facoltativa

Le prove in itinere menzionate di seguito sono prove scritte. Sono previste due prove in itinere: la prima
al termine del primo periodo didattico e la seconda al termine del secondo periodo didattico. La prima
prova in itinere verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, mentre la seconda verte sulle UDE 5, 6. È possibile sostenere la
seconda prova in itinere soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna
prova in itinere è di 120 minuti. La prova orale è facoltativa.

Struttura delle prove in itinere.

Ciascuna prova in itinere ha la medesima struttura. In ciascuna prova verranno proposti due definizioni,
due teoremi e quattro esercizi.

Valutazione delle prove in itinere e voto finale.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova in itinere è pari a 30/30. Ciascuna prova in itinere si intende
superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30)
se e solo se lo studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte, enuncia e dimostra
correttamente uno dei due teoremi proposti e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti. Lo
studente che, pur avendo superato la prima prova in itinere, non avesse superato o sostenuto la seconda
prova in itinere, potrà completare l'esame seguendo la Modalità B, sostenendo quindi la prova scritta
parziale relativa alle UDE 5, 6 nonché la prova orale dopo aver superato nel suo complesso la prova
scritta. In alternativa, lo studente potrà sostenere l'esame completo seguendo la Modalità C.

Il voto finale dell’esame è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove in itinere. La prova orale
verte su tutti gli argomenti del corso ed è facoltativa. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del
voto conseguito nelle prove in itinere e della valutazione conseguita nell’eventuale prova orale.

Modalità B: prova scritta a moduli e prova orale obbligatoria

La prova scritta è suddivisa in due prove parziali. La prima prova parziale verte sulle UDE 1, 2, 3, 4,
mentre la seconda verte sulle UDE 5, 6. È possibile sostenere la seconda prova parziale soltanto se è
stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova parziale è di 120 minuti. La prova
orale è obbligatoria. Si precisa che, seguendo tale modalità, le due prove parziali non potranno essere
sostenute nel medesimo appello. Superata la prima prova parziale, lo studente potrà sostenere la
seconda prova parziale in uno degli appelli successivi e comunque entro e non oltre la terza sessione di
esami. La prova orale è obbligatoria e si accede ad essa solo dopo aver superato entrambe le prove
parziali.

Struttura delle prove parziali.

Le due prove parziali hanno la stessa struttura. In ciascuna prova parziale verranno proposti due
definizioni e quattro esercizi.

Valutazione di ciascuna parte in cui è suddivisa la prova scritta.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova parziale è pari a 30/30. Ognuna delle due prove parziali si
intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. In ciascuna prova
parziale si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente fornisce correttamente una delle due
definizioni proposte e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti. Il voto finale della prova
scritta è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove parziali.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del
voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Modalità C: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, 5, 6 e, superata
essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 120 minuti.

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo
studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo
studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte e risolve correttamente due dei
quattro esercizi proposti.
Prova orale e voto finale
La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del
voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Nota. A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento.

Esempi di domande:

Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti,
Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass,
Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno
derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz,
Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni
monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.

Esempi di esercizi:

Limiti di successioni e di funzioni, Calcolo di derivate di funzioni, Studio del carattere di una serie
numerica, Calcolo di integrali definiti e indefiniti. Lo studente potrà reperire esempi di esercizi d'esame su Studium.