1016254 - ALGEBRA SUPERIORE
Risultati di apprendimento attesi
Approfondimento di tematiche relative alla teoria degli anelli
commutativi e ai loro moduli, con applicazioni di metodi topologici
alla Teoria Moltiplicativa degli Ideali. Fra gli obiettivi del corso
si menzionano il potenziamento della capacità di astrazione e il
raggiungimento della consapevolezza, da parte dell'allievo, che un
solido background teorico permette efficaci applicazioni.
Il corso si propone di fare acquisire agli allievi le seguenti competenze:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
conoscenza e padronanza dei principali risultati della teoria degli
anelli commutativi e dei loro moduli, ottenuti con metodi algebrici e
topologici. Capacità di leggere, comprendere ed esporre un articolo
scientifico concernente tematiche di Algebra Commutativa.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge
and understanding):
questioni di carattere teorico. Capacità di applicare i metodi
algebrici e topologici oggetto del corso, scegliendo quelli più
opportuni ed adattandoli nell'affrontare questioni nuove.
Autonomia di giudizio (making judgements):
strategie risolutive e di interpretare correttamente problematiche nel
contesto dell'Algebra Commutativa. Capacità di saper discutere
l'applicabilità di modelli algebrici e topologici a problematiche
teoriche o concrete.
Abilità comunicative (communication skills):
questioni di algebra e loro soluzioni con chiarezza ed eleganza.
Capacità di discutere la scelta delle strategie risolutive e degli
strumenti, eventualmente computazionali, adottati. Attività seminariale.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Lezioni ed esercitazioni frontali. Esercitazioni in classe.
Prerequisiti richiesti
Corso base di Algebra Commutativa e Topologia Generale (erogato al
Corso di Laurea Triennale).
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
I. Moduli. Moduli liberi, piatti, iniettivi e proiettivi. Esempi ed esercizi.
II. Introduzione alla Teoria Moltiplicativa degli Ideali. Domini di valutazione. Ideali invertibili. Domini di Dedekind. Domini di Prufer. Domini di Krull. Esempi ed esercizi.
anelli di Cohen Macaulay, ideali generati da sistemi di parametri,
tipo, anelli di Gorenstein.
Testi di riferimento
0. A. Geramita, C. Small, Introduction to homological methods in
commutative rings, Queen's papers in pure and applied mathematics - n.
43.
1. R. Gilmer, Multiplicative Ideal Theory. M. Dekker (1972).
2. A. Grothendiek, Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 4 (1960).
3. I. Kaplansky, Commutative Rings. Allyn and Bacon, Inc. (1970).
4. L. Salce, L. Fuchs, Modules over Non-Noetherian Domains. Mathematical Surveys and Monographs AMS (2000).
5. O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, Volume II. Graduate Texts in Mathematics (1976).
6. Note del docente.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Moduli liberi, piatti, iniettivi e proiettivi. | 4 |
| 2 | Domini di valutazione. Ideali invertibili. Domini di Dedekind. Domini di Prufer. | 1, 3 |
| 3 | Successioni regolari, profondità, anelli di Cohen Macaulay. | 0 |
| 4 | Ideali generati da sistemi di parametri, tipo, anelli di Gorenstein | 0 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Durante il corso verranno assegnati degli esercizi per casa o da
svolgere in classe. Al termine del corso è prevista una prova scritta
e/o orale (che può contemplare anche la discussione di esempi e di
esercizi teorici).
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Non esiste un prototipo di esercizio di Algebra Commutativa (e dunque
non è possibile descrivere esplicitamente tipologie di problemi).
Durante il corso saranno resi disponibili su Studium i testi degli
esercizi assegnati per casa. Le domande su un tema teorico sono
strutturate come segue: introdurre un argomento, illustrare le
principali nozioni e i risultati ad esso relativi (comprese le
dimostrazioni più significative), esibire esempi e controesempi.
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