ECONOMIA E IMPRESAEconomiaAnno accademico 2023/2024

9794211 - MATEMATICA FINANZIARIA E ATTUARIALE

Docente: Salvatore GRECO

Risultati di apprendimento attesi

1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Il percorso formativo del corso mira all'acquisizione dei principi teorici concernenti le equivalenze finanziarie tra capitali disponibili in diverse epoche in condizioni di certezza (tassi e loro struttura, leggi di capitalizzazioni, ammortamenti, costituzione di capitale, valutazione prestiti, titoli obbligazionari, analisi degli investimenti) e dell’uso di alcuni strumenti per la gestione del rischio di tasso di interesse (duration e convexity). Inoltre, a complemento, si intendono fornire le principali nozioni relative alla teoria delle funzioni a più variabili con particolare riferimento alla loro applicazione in ambito economico e manageriale. Accanto alle indispensabili nozioni teoriche, opportunamente formalizzate, si intendono trasferire anche adeguate competenze professionali, sia per approfondire le tematiche trattate da un punto di vista operativo, sia a completamento del percorso formativo, al fine di fornire anche le conoscenze necessarie per poter applicare opportunamente nel mondo del lavoro i metodi e le tecniche studiati (saper valutare, confrontare, decidere, operare). Per raggiungere tali obiettivi, si utilizzano anche durante le lezioni frontali attrezzature e metodologie didattiche opportune, quali strumenti multimediali, accesso a database, uso di fogli di calcolo, ecc. Tutto il percorso formativo della disciplina è orientato a coniugare metodologie didattiche che mirano a sviluppare sia la capacità induttiva che il processo logico-deduttivo degli studenti. La verifica dell'apprendimento non è concentrata solamente nella fase conclusiva del corso, in sede di esami, organizzati con prove scritte ed orali; durante l'intero percorso formativo si effettuerà un controllo accurato e continuo della comprensione e dell'effettiva acquisizione da parte degli studenti delle conoscenze via via trasmesse, stimolandone una proficua ed attiva partecipazione.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Particolare attenzione è rivolta anche all’attività operativa dei futuri laureati, i quali sono chiamati ad affrontare nella professione le problematiche prima richiamate, spesso in differenti contesti, anche trasversali ed interdisciplinari. A tal fine, i docenti utilizzano una metodologia didattica ampiamente orientata anche all'acquisizione operativa ("saper fare") degli strumenti analitici e concettuali proposti durante l’insegnamento della disciplina, mirando allo sviluppo di una capacità critica dello studente nei confronti delle tematiche trattate, in un continuo processo di interazione di analisi - sintesi, anche presentando in aula opportuni casi reali, guidandone lo studio e l'analisi con l'ausilio degli strumenti didattici e tecnologici più appropriati. 

3. Autonomia di giudizio (making judgements): Lo sviluppo di un'autonoma capacità critica nel contesto delle tematiche trattate è uno dei principali obiettivi formativi dell’insegnamento. Una buona acquisizione delle conoscenze teoriche e delle capacità operative previste nel programma dell’insegnamento non è sufficiente per una completa formazione dello studente, se tale preparazione non è accompagnata dall'acquisizione di un'approfondita, autonoma, socialmente e moralmente responsabile capacità di valutazione, di impostazione e di risoluzione di un problema, proponendo i metodi e le tecniche che si ritengono più adeguati all’analisi della problematica finanziaria considerata, evidenziandone anche i limiti. Tale consapevolezza funge da guida al docente durante tutto il percorso formativo della disciplina, facendolo interagire con gli studenti in una logica costruttiva, al fine di stimolare durante tutte le fasi dell’insegnamento la loro capacità di riflessione, di acquisizione ed interpretazione delle informazioni necessarie e dei dati indispensabili per impostare, analizzare e risolvere correttamente il problema affrontato, rifuggendo da sterili preparazioni mnemoniche. Durante il corso, pertanto, lo studente è anche addestrato alla ricerca delle fonti informative economiche e finanziarie più appropriate (consultazioni di pubblicazioni specialistiche, di banche dati, di siti internet, ecc.), ad un’analisi critica sulla loro attendibilità e significatività, per un loro appropriato e consapevole utilizzo nella realtà operativa.

3. Autonomia di giudizio (making judgements): Lo sviluppo di un'autonoma capacità critica nel contesto delle tematiche trattate è uno dei principali obiettivi formativi dell’insegnamento. Una buona acquisizione delle conoscenze teoriche e delle capacità operative previste nel programma dell’insegnamento non è sufficiente per una completa formazione dello studente, se tale preparazione non è accompagnata dall'acquisizione di un'approfondita, autonoma, socialmente e moralmente responsabile capacità di valutazione, di impostazione e di risoluzione di un problema, proponendo i metodi e le tecniche che si ritengono più adeguati all’analisi della problematica finanziaria considerata, evidenziandone anche i limiti. Tale consapevolezza funge da guida ai docenti durante tutto il percorso formativo della disciplina, facendoli interagire con gli studenti in una logica costruttiva, al fine di stimolare durante tutte le fasi dell’insegnamento la loro capacità di riflessione, di acquisizione ed interpretazione delle informazioni necessarie e dei dati indispensabili per impostare, analizzare e risolvere correttamente il problema affrontato, rifuggendo da sterili preparazioni mnemoniche. Durante il corso, pertanto, lo studente è anche addestrato alla ricerca delle fonti informative economiche e finanziarie più appropriate (consultazioni di pubblicazioni specialistiche, di banche dati, di siti internet, ecc.), ad un’analisi critica sulla loro attendibilità e significatività, per un loro appropriato e consapevole utilizzo nella realtà operativa.

4. Abilità comunicative (communication skills): Lo studente è messo in condizioni di relazionarsi e di trasferire a terzi, anche non specialisti, con chiarezza espositiva, precisione,
padronanza di espressione e linguaggio tecnico appropriato, informazioni, analisi, giudizi di valore, progetti e proposte operative concernenti le problematiche finanziarie, aziendali e di mercato, che la precipua attività lavorativa porterà ad affrontare, sapendone esporre anche le motivazioni e le ipotesi adottate. Non è sufficiente, infatti, saper applicare metodi e tecniche corretti, che ben rappresentano il problema affrontato; occorre anche saperli giustificare, esplicitandone le ipotesi adottate, spesso implicitamente, che condizionano lo sviluppo e la validità di tutta l’analisi condotta. A tal fine, accanto ad un’appropriata conoscenza teorica dei metodi e della loro implementazione operativa, è indispensabile acquisire una capacità di avvalersi efficacemente di strumenti di calcolo e tecnologie multimediali. I docenti, inoltre, coltivano durante tutto il percorso formativo lo sviluppo di tali abilità, avendo cura di stimolare e assicurare una partecipazione attiva di ogni studente, mediante l'organizzazione di appropriate attività didattiche sopra ricordate. Lo studente è continuamente sollecitato ad esporre verbalmente e formalmente il proprio pensiero con adeguate argomentazioni e tecniche, a redigere documenti in forma scritta, a predisporre presentazioni, individualmente ed in gruppo, a discutere quanto presentato in aula, per stimolare una proficua interazione anche sul piano della comunicazione. La prova finale costituisce un'ulteriore momento di approfondimento e di verifica delle diverse capacità di comunicazione effettivamente raggiunte dallo studente.

5. Capacità di apprendimento (learning skills): Si forniscono agli studenti sin dall’inizio delle lezioni opportuni suggerimenti e stimoli per una partecipazione quanto più attiva possibile all'intero processo formativo e per un miglioramento del metodo di studio individuale, ai fini di una più efficace comprensione della disciplina, che presenta precipue caratteristiche in termini di apprendimento, mediante un appropriato processo induttivo - deduttivo. Come già ricordato, la verifica dell'effettiva acquisizione delle conoscenze teoriche ed operative, necessarie per l'inserimento nel mondo del lavoro, viene effettuata durante l'intero percorso formativo e non soltanto in sede di esame finale, in forma scritta e orale. Il docente verifica continuamente, argomento per argomento, se la trasmissione delle conoscenze avviene efficacemente, rivedendo eventualmente anche nel corso dell’anno il metodo di insegnamento, per meglio adeguarlo al raggiungimento concreto di questo importante obiettivo, tenendo anche conto della effettiva composizione dell’aula. In tale contesto, la verifica mediante esame di profitto è un naturale e coerente corollario del processo di apprendimento, che viene costantemente monitorato e migliorato, anche per evitare un traumatico approccio alle prove di esame.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L'insegnamento si svolge mediante lezioni frontali in cui, oltre agli aspetti teorici, si da ampio spazio alle applicazioni che ne discendono, in modo che lo studente possa acquisire una piena comprensione e una consapevole padronanza della materia. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Prerequisiti richiesti

Le quattro operazioni e le loro proprietà; numeri primi, scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo; frazioni e operazioni su frazioni; potenze, radici e logaritmi; monomi, polinomi e scomposizione di polinomi; equazioni di primo e secondo grado; rette, segmenti, angoli, triangoli, rette perpendicolari e parallele. Teorema di Pitagora. Progressioni aritmetiche e  geometriche (finite e infinite). E’ utile avere anche la conoscenza del programma di Matematica Generale dello stesso corso di laurea.

Frequenza lezioni

La frequenza alle lezioni è vivamente consigliata.

Contenuti del corso

I PARTE (3 CFU) - Regimi finanziari, rendite certe, ammortamento e costituzione di capitali .

Credito parziale attribuito: 3 CFU.

Obiettivi formativi: Fornire le fondamentali nozioni teoriche e le principali applicazioni operative del calcolo finanziario in condizioni di certezza. Molte delle tematiche trattate hanno una fondamentale valenza nella pratica professionale. 

Descrizione del programma: Regimi finanziari: Operazioni finanziarie; interesse e sconto; teoria delle leggi finanziarie ed equivalenze finanziarie. Regime dell’interesse semplice, composto, sconto commerciale e loro confronto; capitalizzazione mista. Principali proprietà di un qualsiasi regime finanziario. Tassi effettivi, equivalenti, nominali, istantanei, medi. Scindibilità; forza di interesse e di sconto. Rendite certe: definizioni preliminari; rendite discrete, temporanee, perpetue, differite, intere e frazionate, a rate costanti e variabili. Problemi relativi alle rendite. Ammortamento di prestiti indivisi e costituzione di capitali: Definizioni preliminari; principali proprietà. Ammortamento a rimborso unico, a rate costanti, a quote capitale costanti, con quote di accumulazione. Piani di ammortamento a tasso fisso e a tasso variabile, con preammortamento, con adeguamento del debito residuo. Costituzione di capitali nel discreto. Piani di costituzione, a tasso fisso e a tasso variabile, con adeguamento del capitale.

II PARTE (3 CFU) - Valutazione di operazioni finanziarie e degli investimenti reali.

Credito parziale attribuito: 3 CFU.

Obiettivi formativi: Far acquisire i principi fondamentali delle valutazioni finanziarie in condizioni di certezza, sia con riferimento al mercato dei capitali che a progetti di investimenti reali. Introdurre alcune nozioni teoriche ed i principali strumenti operativi e per l’immunizzazione dal rischio di tasso.

Descrizione del programma: Valutazione dei prestiti: Generalità; valutazione prospettiva e retrospettiva. Nuda proprietà ed usufrutto. Valutazione di alcune classi di prestiti. Investimenti reali in condizioni di certezza: Generalità sui criteri di scelta degli investimenti; assiomi fondamentali. Criterio del valore attuale netto; criterio del rapporto; tasso interno di rendimento; tempo di recupero. Applicazioni alla risoluzione dei principali problemi decisionali. Confronto tra i differenti criteri. Titoli obbligazionari e struttura del mercato: Generalità e tipi fondamentali di obbligazioni; corsi e rendimento; rimborso di prestiti obbligazionari. La struttura per scadenza dei tassi di interesse; tassi spot e tassi forward. Immunizzazione dal rischio di tasso: Principali indici temporali e di sensitività di un flusso di pagamenti. Duration, convexity e principi di immunizzazione dal rischio di tasso.

III PARTE (3 CFU)  Decisioni in condizioni di incertezza

Credito parziale attribuito: 3 CFU.

Obiettivi formativi: Far acquisire le nozioni di base della teoria delle decisioni in condizioni di incertezza. 

Descrizione del programma: Nozioni di base di teoria della probabilità. Criteri per la valutazione delle grandezze aleatorie: criterio del valore medio, criterio dell'utilità attesa, dominanza stocastica, criterio media varianza. Elementi di teoria delle assicurazioni. Cenni di teoria del portafoglio. 

Testi di riferimento

R. L. D’Ecclesia, L. Gardini, Appunti di Matematica Finanziaria I, VIII edizione, Giappichelli, Torino, 2020

S. Corrente, S. Greco, B. Matarazzo, S. Milici, Matematica Generale, II edizione, Giappichelli, Torino, 2021

Per quanto concerne gli argomenti della III parte di programma, saranno forniti agli studenti materiali a supporto. 

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Operazioni finanziarie; interesse e sconto; tasso d’interesse e tasso di sconto; coefficiente di capitalizzazione e coefficiente di attualizzazione. D’Ecclesia, Gardini: cap 1
2Teoria delle leggi finanziarie ed equivalenze finanziarie. Regime dell’interesse semplice e composto.D’Ecclesia, Gardini: cap 1
3Regime dell’interesse commerciale. Confronto tra il regime di interesse semplice, composto e commerciale; capitalizzazione mista. Principali proprietà di un qualsiasi regime finanziario.D’Ecclesia, Gardini: cap 1
4Tassi effettivi, equivalenti, nominali, istantanei, medi.D’Ecclesia, Gardini: cap 1
5Scindibilità; forza di interesse e di sconto.D’Ecclesia, Gardini: cap 1
6Rendite certe: definizioni preliminari; rendite discrete, temporanee, a quote capitale costanti, con quote di accumulazione.D’Ecclesia, Gardini: cap 2
7Rendite perpetue, differite, intere e frazionate, a rate costanti e variabili. Rendite continue. Problemi relativi alle rendite.D’Ecclesia, Gardini: cap 2
8Ammortamento di prestiti indivisi e costituzione di capitali: Definizioni preliminari; principali proprietà.D’Ecclesia, Gardini: cap 3
9Ammortamento a rimborso unico, a rate costanti, a quote capitale costanti, con quote di accumulazione.D’Ecclesia, Gardini: cap 3
10Piani di ammortamento a tasso fisso e a tasso variabile, con preammortamento, con adeguamento del debito residuo.D’Ecclesia, Gardini: cap 3
11Piani di costituzione, a tasso fisso e a tasso variabile, con adeguamento del capitale.D’Ecclesia, Gardini: cap 2
12Valutazione dei prestiti: Generalità; valutazione prospettiva e retrospettiva.D’Ecclesia, Gardini: cap 4
13Nuda proprietà ed usufrutto. Valutazione di alcune classi di prestiti.D’Ecclesia, Gardini: cap 4
14Investimenti reali in condizioni di certezza. Generalità sui criteri di scelta degli investimenti; assiomi fondamentali.D’Ecclesia, Gardini: cap 4
15Criterio del valore attuale netto; criterio del rapporto; tasso interno di rendimento; tempo di recupero.D’Ecclesia, Gardini: cap 4
16Applicazioni dei criteri di scelta degli investimenti alla risoluzione dei principali problemi decisionali. Confronto tra i differenti criteri.D’Ecclesia, Gardini: cap 4
17Titoli obbligazionari e mercato dei capitali. Generalità e tipi fondamentali di obbligazioni; corsi e rendimento; rimborso di prestiti obbligazionari.D’Ecclesia, Gardini: cap 5
18Struttura a termine dei tassi d’interesse.D’Ecclesia, Gardini: cap 5
19Duration, modified duration e convexityD’Ecclesia, Gardini: cap 4
20Principi di immunizzazione dal rischio di tasso: teorema di Fisher-Weil e teorema di Redington.D’Ecclesia, Gardini: cap 7
21Eventi e probabilità. Algebra degli eventi.Supporting materials provided to students.
22Definizione classica, frequentistica e soggettiva della probabilità.Supporting materials provided to students.
23Principio delle probabilità totali e principio delle probabilità composte.Supporting materials provided to students.
24Variabile aleatoria, valore atteso e varianza. Schema di Bernoulli.Supporting materials provided to students.
25Legge dei grandi numeri: teorema di Bernoulli. Distribuzione normale.Supporting materials provided to students.
26Criterio del valore atteso e criterio dell’utilità attesa. Supporting materials provided to students.
27Dominanza stocastica. Criterio della media varianza.Supporting materials provided to students.
28Elementi di teoria delle assicurazioni: premio equo, premio puro e premio caricato. Tavole di mortalità. Premio unico del contratto di capitale differito.Supporting materials provided to students.
29Premio unico del contratto di rendita vitalizia e rendita periodica. Premio periodico del contratto di capitale differito. Riserva matematica.Supporting materials provided to students.
30Modello di Markowitz per la selezione del portafoglio.Supporting materials provided to students.
31Modello di Markowitz in presenza di un titolo non rischioso. Modello di equilibrio di mercato e diversificazione del rischio. Lezione di 3 ore (le altre sono tutte di 2 ore).Supporting materials provided to students.

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame si compone di una prova orale nella quale si accerta un’adeguata conoscenza e padronanza di tutti gli argomenti che compongono il programma e si mira a verificare le capacità dello studente di utilizzare ed applicare opportunamente i concetti di base, gli strumenti ed i risultati fondamentali proposti nel programma sulla base dello svolgimento  e del commento di uno o più esercizi. Il voto sarà assegnato in base al livello di preparazione dimostrato dallo studente, fermo restando che il superamento dell’esame richiede il raggiungimento di una soglia minima di conoscenza delle tematiche contemplate nel programma dell’insegnamento. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Cosa sono l’interesse, lo sconto, il montante e il valore attuale?

Cosa sono il tasso di interesse e il tasso di sconto e qual è la loro relazione funzionale?

Cosa è una legge di capitalizzazione?

Cosa sono i regimi di capitalizzazione semplice, composta e commerciale?

Sa confrontare i regimi di capitalizzazione, semplice, composta e commerciale?

Quando due tassi si dicono equivalenti?

Cosa sono la forza di interesse e la forza di sconto?

Cosa è la scindibilità?

Qual è la condizione necessaria e sufficiente affinchè una legge di capitalizzazione sia scindibile?

Come si determina il valore attuale e il montante di una rendita posticipata di n rate costanti?

Qual è il valore attuale e il montante di una rendita posticipata di n rate in progressione aritmetica?

Qual è il valore attuale e il montante di una rendita posticipata di n rate in progressione geometrica?

Quali sono le differenze tra ammortamento francese, italiano, americano e tedesco?

Cosa sono la nuda proprietà e l’usufrutto?

Cosa è, come si ricava e come si usa la formula di Makeham?

Cosa sono il criterio del tasso interno di rendimento e del valore attuale netto?

Cosa sono i tassi a pronti e i tassi a termine e che relazione esiste tra di loro?

Cosa sono la duration e la convexity?

Mi enuncia il teorema di Fisher-Weil?

Mi enuncia il teorema di Redington?

Mi da le definizioni di probabilità classica, frequentistica e soggetiva e me le commenta?

Mi enuncia il principio delle probabilità torali e il principio delle probabilità composte?

Mi definisce il valore atteso e la varianza e mi enuncia le principali proprietà?

Mi parla del problema delle prove ripetute nello schema di Bernoulli?

Mi enuncia il teorema di Bernoulli (legge dei grandi numeri)?

In cosa consiste il criterio del valore atteso?

In cosa consiste il criterio dell'utilità attesa?

In cosa consiste la dominanza stocastica?

In cosa consiste il criterio di media-varianza?

Che differenza c'è tra premio unico, premio puro e premio caricato di una contratto assicurativo?

Che cos'è una tavola di mortalità?

Quanto vale il premio unico dell'assicurazione di capitale differito?

Quanto vale il premio unico di una rendita periodica?

Cosa sono la derivata direzionale e la derivata radiale?

Quanto vale la riserva matematica dell'assicurazione di capitale differito?

Mi descrive il modello di Markowitz per la selezione di un portafoglio?

Cosa succede nel modello di Markowitz se nel mercato c'è un titolo non rischioso?

 


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