9794082 - SET-THEORETIC TOPOLOGY
Risultati di apprendimento attesi
Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Una parte del corso fornisce gli strumenti di Teoria degli Insiemi che verranno poi applicati ad alcuni argomenti di Topologia Generale.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Introduzione alla Teoria degli Insiemi. Insiemi bene ordinati e teorema del confronto. Numeri ordinali e cardinali .La nozione di cofinalita' e il teorema di Koenig. Aritmetica cardinale. L'ipotesi del continuo. Filtri e Ultrafiltri. Famiglie indipendenti e calcolo della cardinalita' della famiglia degli ultrafiltri su un fissato insieme. Cardinali misurabili. Ultrafiltri speciali sugli interi. Esistenze di ultrafiltri selettivi. Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Applicazioni alla Topologia Generale. Esempi di spazi compatti non sequenzialmente compatti. Esempi di spazi numerabilmente compatti ma non compatti. Ulteriori applicazioni alla Topologia Generale.
Testi di riferimento
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.
2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Gli assiomi della teoria degli insiemi. Buon ordinamenti. | 1 |
| 2 | I numeri ordinali e la loro relazione con i buon ordinamenti. | 1 |
| 3 | Equipotenza e cardinalita'. I numeri cardinali e la loro aritmetica. | 1 |
| 4 | La nozione di cofinalita' di un cardinale. Cardinali regolari e teorema di Koenig. | 1 |
| 5 | L'ipotesi del continuo. | 1 |
| 6 | Cardinali misurabili. | 1 |
| 7 | Applicazioni dell'induzione transfinita. | 1 |
| 8 | Filtri e ultrafiltri. Il numero degli ultrafiltri liberi su un insieme. | 1 |
| 9 | Ultrafiltri speciali sugli interi. Esistenza di ultrafiltri selettivi. | 1 |
| 10 | Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Proprieta' della compattificazione di Cech-Stone. | 1 |
| 11 | Applicazioni alla numerabile e alla sequenziale compattezza. | 1 |
| 12 | Lo spazio topologico degli ultrafiltri liberi sugli interi. Il teorema di non omogeneita' di Rudin. | 1 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Definizione di ordinale e sue proprieta'.
La nozione di ultrafiltro.
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