1011149 - NUMERICAL METHODS FOR ELECTROMAGNETIC FIELDS AND CIRCUITS A - Z

Nella progettazione di strutture e di dispositivi inerenti i vari ambiti dell’Ingegneria, si adoperano estesamente oggigiorno modelli formulati in termini di grandezze fisiche che posseggono tipicamente sia una dipendenza dalle coordinate spaziali sia una dipendenza da quella temporale. La complessità dei legami che sussistono tra tali grandezze, espressi matematicamente sotto forma di sistemi di equazioni funzionali, frequentemente di natura differenziale, integrale o integro-differenziale, è tale da consentirne solo una risoluzione approssimata, ottenuta facendo ricorso a metodi numerici il cui impiego richiede la discretizzazione delle suddette grandezze rispetto a entrambe le due tipologie di coordinate.

Tale approccio alla progettazione e le conseguenti tecniche attuative sono divenute talmente efficienti e consolidate, che si può, senza tema di smentita, affermare che non esista industria (elettrica, elettronica, meccanica, aerospaziale, ecc.) o centro di ricerca di dimensioni medio-grandi che non si sia dotato di una apposita sezione specializzata nello sviluppo e nell’utilizzo di strumenti CAD (Computer Aided Design), al fine dell’implementazione di tali procedure progettuali.

Conoscenze e capacità di comprensione.

Nel corso degli studi di Ingegneria, l’allievo acquisisce una qualche conoscenza di metodi atti alla discretizzazione temporale di grandezze che intervengono nella modellizzazione fisico-matematica di strutture o di processi di interesse delle discipline inerenti tali studi, ma assai più raramente, di quelli adoperati nella discretizzazione spaziale o spazio-temporali di dette grandezze. Uno degli obiettivi primari che si prefigge il corso di “Numerical Methods for Electromagnetic Fields” è per l’appunto quello di acquisire le conoscenze e sviluppare la capacità di comprensione dei principali metodi di discretizzazione spaziali e/o temporali, presentandone le loro basi teorico-metodologiche e illustrandone la loro concreta applicazione nell’ambito di quel vastissimo e in continua espansione settore di ricerca denominato Elettromagnetismo Computazionale. Tali metodi numerici e gli algoritmi che ne implementano il loro fattuale utilizzo, hanno una portata che va ben oltre i settori dell’Ingegneria Elettrica e di quella Elettronica, nelle quali, peraltro, esistono numerosi contesti applicativi in cui   l’approccio circuitale, il quale richiede al più la discretizzazione temporale delle variabili di rete, risulta essere del tutto   inadeguato e deve pertanto essere soppiantato da quello campistico. Comuni contesti di questa natura sono, ad esempio, l’analisi e la progettazione di strutture il cui funzionamento si fonda sulla propagazione libera del campo elettromagnetico (tipicamente le antenne) e di quelle che invece utilizzano la propagazione guidata (tipicamente le linee di trasmissione, le guide d’onda metalliche e quelle dielettriche, le fibre ottiche, et cetera). Altri ambiti ingegneristici che stanno assumendo un’importanza via via crescente e per i quali risulta indispensabile l’utilizzo di detti metodi, sono quello dell’analisi del comportamento congiunto elettrico e termico dei dispositivi di potenza e quello della progettazione dei sistemi e degli apparati elettrici ed elettronici, nel rispetto delle norme internazionali che scaturiscono dagli studi di compatibilità elettromagnetica, sia industriale sia ambientale, nonché da quegli studi concernenti atti ad assicurare la qualità delle grandezze elettriche.

L’altro obbiettivo primario del corso, strettamente connesso con il primo e che si riflette di conseguenza sui contenuti del corso medesimo, è quello di fornire una breve rivisitazione delle leggi fondamentali dell’elettromagnetismo, finalizzata alla conoscenza e alla comprensione di alcune, ma significative, loro applicazioni nell’ambito dell’Ingegneria Elettrica. A tal fine, dopo aver richiamato e commentato la formulazione dell’elettromagnetismo sia in termini globali (i.e. integrali) sia in termini locali (i.e. differenziali), si tratteranno alcune specifiche applicazioni concernenti il regime stazionario del campo elettrico, del campo magnetico e di quello elettrocinetico riguardanti  rispettivamente il calcolo di capacità, di induttanze e di resistenze elettriche, nonché del calcolo di sollecitazioni meccaniche tra conduttori per passare successivamente a quelle inerenti il regime quasi stazionario magnetico, di gran lunga più rilevante di quello quasi stazionario elettrico, rappresentate dallo studio dei fenomeni delle correnti indotte e dell’effetto pelle. Questa parte del corso si concluderà con dei brevi cenni sul comportamento dei campi elettromagnetici in regime non stazionario, riguardanti in particolare la loro propagazione per onde piane in mezzi materiali e la loro classificazione in relazione allo stato di polarizzazione.

A questa parte del corso seguirà quella riguardante l’esposizione di una parte significativa della teoria delle linee di trasmissione uniformi, operanti sia in regime transitorio sia in regime sinusoidale, illustrandone sia gli aspetti generali sia quelli specifici di tali condizioni di funzionamento, il tutto motivato ed esemplificato attraverso la discussione e la risoluzione di diversi esercizi e problemi.

Conoscenze e capacità di comprensione applicate.

Dei metodi numerici, il corso tratterà prevalentemente quello del Metodo degli Elementi Finiti (Finite Element Method o FEM) il quale, messo a punto negli anni sessanta ed avendo ora mai del tutto soppiantato il Metodo delle Differenze Finite (Finite Difference Method, o FDM), si è affermato come il più potente metodo numerico per la risoluzione di problemi di campo formulati in termini differenziali. L’idea di base del metodo consiste nel suddividere il dominio di definizione del problema in un gran numero di sottodomini di forma semplice, denominati per l’appunto elementi finiti (tipicamente tetraedri e parallelepipedi in 3D, triangoli e parallelogrammi in 2D), all’interno dei quali si assume che le grandezze di interesse abbiano andamenti esprimibili mediante semplici espressioni matematiche (lineari, quadratiche, et cetera.), i cui coefficienti dipendono dai valori che la grandezza in questione possiede in specifici punti dell’elemento finito, detti nodi. Rivestono inoltre particolare importanza i metodi integrali, il più importante dei quali è il Metodo degli Elementi di Contorno (Boundary Element Method o BEM) e quelli ibridi, quali il FEM-BEM e numerosi altri, particolarmente idonei alla risoluzione di problemi definiti in domini di estensione illimitata, estremamente frequenti in elettromagnetismo.

Questo processo di discretizzazione spaziale porta a trasformare il sistema di equazioni funzionali (differenziali e/o integrali) che scaturisce dalla formulazione matematica del problema, in un sistema di equazioni algebriche le cui incognite sono i valori delle grandezze rappresentative dei campi introdotte nel processo di discretizzazione, quali ad esempio, i valori nodali. La risoluzione di tale sistema consente poi di ottenere, servendosi di appropriati algoritmi, una soluzione il cui grado di accuratezza dipende essenzialmente dal numero di elementi finiti adoperati e dall’ordine di questi, con un ovvio conseguente costo computazionale crescente con il valore di detti parametri di discretizzazione.

In fine, un obiettivo pregante del corso, è quello di esemplificarne i contenuti, svolgendo un appropriato numero di esercitazioni basate sull’utilizzo di appositi codici di calcolo, finalizzate sia alla risoluzione di alcune tipologie di problemi di campo sia all’analisi di linee di trasmissione. In tal modo, si fornisce allo studente l’opportunità di rafforzare e portare sul un piano applicativo, le conoscenze e la comprensione precedentemente acquisite teoricamente.

Autonomia di giudizio.

Il corso intende anche stimolare e accrescere l’attitudine ad esercitare le capacità critiche e di giudizio dello studente. Difatti, l’individuazione della strategia più appropriata alla risoluzione di un determinato problema da affrontare con tecniche numeriche, in relazione alla sua natura e alle grandezze da calcolare, impone allo studente di effettuare un esame attento del problema e una riflessione sulle conoscenze già acquisite atte a risolverlo. A soluzione ottenuta, lo studente è chiamato altresì a verificare la correttezza del risultato, sia pure approssimativo, atteso. Un ulteriore fonte di acquisizione di autonomia di giudizio è costituito dalla capacità di fornire una spiegazione a possibili risultati inizialmente inattesi, la qual cosa contribuisce ulteriormente a migliorare la comprensione del metodo di calcolo utilizzato e a sviluppare nel corso della preparazione all’esame dell’insegnamento, la capacità di formulare delle ipotesi sulla forma attesa della soluzione di un problema, sia pure disponendo su di esso di informazioni non esaustive.

Abilità comunicative.

Uno dei risultati che si prefigge il corso è l’apprendimento del corretto uso sia della terminologia sia degli strumenti matematici, nonché delle conoscenze fisiche, appresi nei corsi propedeutici, necessari alla risoluzione di specifici problemi di campo. Nel corso delle lezioni, particolare cura è stata ovviamente dedicata alle unità di misura delle grandezze elettriche e al loro corretto utilizzo. Una parte significativa dei risultati teorici del corso sono poi dimostrati, contribuendo ulteriormente ad accrescere la comprensione dei risultati stessi e delle loro implicazioni, nonché del loro appropriato e flessibile utilizzo nella risoluzione dei problemi. Questo stimola e fa progredire l’abilità comunicativa dello studente, ponendolo in grado di dialogare con chiarezza e senza incertezze sia con soggetti acculturati nella disciplina sia con soggetti che non lo siano, fornendo ad entrambe le categorie valide argomentazioni.

Capacità di apprendere.

L’attività di studio richiesto dal corso, tradizionalmente ed equamente suddiviso tra l’acquisizione di concetti e di risultati teorici e il progressivo aumento della abilità di risoluzione di specifici problemi, conduce a un miglioramento della capacità di riflessione e di apprendimento dello studente. Specificatamente, l’analisi di problemi di campi elettromagnetici e di linee di trasmissione, aventi caratteristiche differenti, comporta da parte dello studente l’affinamento della capacità di individuazione della strategia risolutiva più idonea. Tutto ciò determina un accrescimento della facoltà di classificazione dei problemi e il rafforzamento di un proprio ed efficace metodo di studio, che gli tornerà sicuramente utile in futuro.

- Campi scalari e campi vettoriali. Operatori differenziali e operatori integrali. Domini a connessione semplice e a connessione multipla. Teorema generalizzato del gradiente, della divergenza e del rotore. Campi conservativi e campi solenoidali; potenziali scalari e potenziali vettori; teorema di Helmholtz. Sistemi di coordinate curvilinee ortogonali. Lemmi e formule di Green. Funzioni armoniche e loro principali proprietà. Problemi di valori al contorno per l’equazione di Poisson; teorema di rappresentazione; tipi di potenziali e loro proprietà. Funzione di Green per problemi di valori al contorno di tipo Dirichlet e di tipo Neumann.

2. Elettromagnetismo computazionale.

- Metodi numerici per il calcolo di campi elettromagnetici.
- Il Metodo delle Differenze Finite (Finite Difference Method, FDM).
- Il Metodo degli Elementi (Finiti Finite Element Method, FEM). Discretizzazione del dominio; elementi finiti triangolari scalari lineari, funzioni di forma, coordinate locali, simplesso standard. Formulazione variazionale dell’equazione scalare di Poisson. Matrice di Dirichlet e matrice metrica di un elemento finito. Condizioni al contorno di tipo di Dirichlet, di tipo Neumann e di tipo Robin. Valutazione di quantità integrali (flussi, energie, forze). Elementi triangolari di ordine superiore. Elementi quadrangolari ed esaedrali.
- Il Metodo degli Elementi di Contorno (Boundary Element Method, BEM). Integrazione di funzioni singolari.
- Metodi ibridi (Hybrid Methods, HMs). I metodi FEM-BEM e FEM-DBCI (Dirichlet Boundary Condition Iteration).
- Elementi Finiti Vettoriali di tipo edge.
- Metodi FDM e FEM nel dominio del tempo.
- Metodo di Newton-Raphson e del punto fisso per la soluzione di casi non lineari.

3. Elettromagnetismo.

- La carica elettrica e le sue proprietà.
- Campo elettrico stazionario. Proprietà globali e proprietà locali del campo elettrico nel vuoto. Potenziale scalare elettrico. Campo elettrico e potenziale elettrico di una distribuzione di cariche. Campo elettrico nei conduttori. Induzione elettrostatica. Coefficienti di capacità e coefficienti di potenziale, propri e parziali, di un sistema di conduttori; schermi elettrostatici. Rete equivalenti di capacitori. Capacitore. Esempi di calcolo di capacità. Energia del campo elettrico. Sollecitazioni meccaniche su cariche e conduttori. Polarizzazione di un dielettrico, vettore intensità di polarizzazione. Campo elettrico nella materia; vettore spostamento elettrico. Forma e denominazione delle equazioni costitutive. Cenni ai fenomeni dissipativi nei dielettrici: angolo di perdita, effetto corona; rigidità dielettrica e fenomeni di scarica nei dielettrici.
- Campo di corrente stazionario. Corrente elettrica di conduzione, di convezione, di avvezione, di diffusione; generatori di forza elettromotrice. Vettore densità di corrente. Proprietà globali e proprietà locali del campo di corrente. Forma e denominazione delle equazioni costitutive; legge di Ohm per le grandezze specifiche, campo elettromotore. Calcolo del campo di corrente stazionario in mezzi lineari. Legge di Joule per le grandezze specifiche e bilancio energetico. Conduttanze e resistenze, proprie e parziali, di un sistema di conduttori; rete equivalente di resistori. Esempi di calcolo di resistenze.
- Campo magnetico stazionario. Proprietà globali e proprietà locali del campo magnetico nel vuoto. Equazione vettoriale di Poisson; legge di Biot-Savart. Potenziale scalare magnetico. Energia del campo magnetico. Matrice delle induttanze di un sistema di conduttori. Induttanza interna ed induttanza esterna di un conduttore. Esempi di calcolo di induttanze. Campo magnetico nella materia; vettore intensità di magnetizzazione. Forma e denominazione delle equazioni costitutive. Mezzi diamagnetici, paramagnetici e ferromagnetici. Curva di prima magnetizzazione; permeabilità normale, incrementale e differenziale; ciclo di isteresi, magneti permanenti. Circuiti magnetici. Tubo di flusso. Legge di Hopkinson, riluttanza, cifra di perdita, circuito elettrico equivalente. Sollecitazioni meccaniche sui conduttori.
- Campo magnetico quasi-stazionario. Equazione della diffusione del campo magnetico nei conduttori; effetto pelle e di prossimità, profondità di penetrazione; semispazio conduttore, lamina conduttrice, conduttore di sezione circolare. Correnti indotte.
- Campo elettromagnetico. Proprietà globali, per domini fissi e mobili, del campo elettromagnetico. Legge di Faraday-Neumann-Lenz; forza elettromotrice indotta dinamica e mozionale. Legge di Ampere-Maxwell; corrente di spostamento. Proprietà locali del campo elettromagnetico; equazioni di Maxwell, condizioni di interfaccia e condizioni di regolarità all'infinito. Potenziali elettromagnetici; condizioni ausiliarie (di gauge). Equazioni d'onda dei potenziali. Energia e sollecitazioni meccaniche del campo elettromagnetico; vettore e teorema di Poynting. Onde elettromagnetiche uniformi; propagazione di onde piane e di onde sferiche in mezzi materiali. Campo elettromagnetico sinusoidale. Equazione di Helmholtz; soluzione, condizioni al contorno e condizione di radiazione. Onde piane monocromatiche; relazione di dispersione, tipi di polarizzazione. Vettore e teorema di Poynting complesso.
- Deduzione del modello Circuitale di un sistema elettrico. Leggi di Kirchhoff.
- Elementi di conversione elettromeccanica dell’energia.

4. Linee di trasmissione.

- Modello Linea di Trasmissione. Propagazione libera e propagazione guidata; sistemi a parametri distribuiti e modi di propagazione. Assunzioni, deduzione e limiti di validità del modello Linea di Trasmissione. Linee a due conduttori, linee uniformi, linee non distorcenti, linee ideali. Calcolo dei parametri primari di una linea coassiale.
- Analisi nel dominio del tempo. Sistema di equazioni del primo ordine, equazioni del secondo ordine; condizioni iniziali e condizioni ai limiti. Bilancio energetico di una linea. Studio delle linee non distorcenti e delle linee ideali; velocità di gruppo e velocità di fase; forma, proprietà e interpretazione fisica delle soluzioni. Casi di studio elementari di linee ideali con terminazioni bipolari. Cenni alle linee multiconduttore.
- Analisi nel dominio della pulsazione. Equazioni delle linee nel dominio della pulsazione; parametro di propagazione e impedenza caratteristica. Forma, proprietà e interpretazione fisica delle soluzioni. Impedenza, ammettenza, coefficiente di riflessione, coefficiente di trasmissione. Rappresentazioni immettenza, di trasmissione, di diffusione. Studio delle linee non distorcenti di lunghezza finita. Linea adattata. Casi di studio elementari di linee ideali con terminazioni resistive.
- Analisi di linee in regime sinusoidale. Deduzione delle equazioni e delle proprietà delle linee in regime sinusoidale dalle analoghe valide nel dominio della pulsazione. Studio delle linee non distorcenti; andamento della tensione e andamento della corrente, ROS, linee a λ/2, linee a λ/4. Casi di studio elementari di linee ideali con terminazioni bipolari. Bilancio energetico. Diagramma di Smith e suo uso; adattamento di una linea mediante stub.

1.	P. P. Silvester, R. L. Ferrari: “Finite elements for electrical engineers”, 3rd edition, Cambridge University Press, 2003.
2.	Jian-Ming Jin: The Finite Element Method in Electromagnetics, 3rd Edition, Wiley-IEEE Press, 2014
3.	S. Alfonzetti: " Dispense del corso sui metodi numerici".
4.	A. Laudani: “Dispense del corso”