1001266 - GEOMETRIA

Lezioni frontali ed esercitazioni in classe, coadiuvate da attività di supporto in orari diversi dalle lezioni.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici.  Matrici triangolari, diagonali. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche.

Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi: R^n . Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base.  Dimensione di uno spazio vettoriale.  Dimensione di una somma diretta. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace (no dim). Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.

GEOMETRIA ANALITICA. I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti.  Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio.  Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Fasci di piani. Distanze.  Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica (no dim). Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Cenni su Fasci di coniche. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sfere. Cenni su Fasci di quadriche

1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte di Algebra Lineare).

2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (per la parte di geometria). Il presente libro, su volere dell'autore, è scaricabile dal sito internet del prof. G. Paxia www.giuseppepaxia.com .

La verifica finale è basata principalmente su una prova scritta e, dopo aver ricevuto una valutazione sufficiente, in una prova orale.

Durante il corso verranno assegnati degli esercizi che gli studenti sono invitati a svolgere e a discutere con il docente.
La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Algebra lineare.

Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazio vettoriale. Definizione di sottospazio vettoriale e operazioni tra spazi vettoriali. Generatori di un sottospazio. Vettori linearmente indipendenti. Base di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Matrice del cambiamento di base. Equazioni cartesiane di un sottospazio. Formula di Grassmann. Definizione di applicazione lineare.  Matrice associata ad una applicazione lineare. Teorema delle dimensioni. Autovalori ed autovettori di un endomorfismo. 

Geometria.

Equazioni di una retta nel piano e nello spazio. Interpretazione dei numeri direttori di una retta. Piani nello spazio. Classificazione affine delle coniche. Rette tangenti ad una conica. Classificazione affine delle quadriche nello spazio. Piani tangenti ad una quadrica.