72456 - MATEMATICA II A - L

Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, gli integrali per funzioni di una e di più variabili reali, le successioni e serie di funzioni, le equazioni differenziali, il calcolo differenziale per funzioni reali di due variabili reali e le forme differenziali lineari.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements):

lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le proprie capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.

Abilità comunicative (communication skills):

studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza argomenti di natura scientifica, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills):

gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

Lezioni frontali corredate da esercitazioni

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenza solida dei contenuti acquisiti nel corso di Matematica I

Fortemente consigliata

Elementi di algebra lineare

Spazi vettoriali, matrici e determinanti (teorema di Laplace) – Sistemi lineari (teorema di Kramer e di Rouché – Capelli) – Applicazioni lineari – Autovettori ed autovalori di una matrice – Equazione secolare - Diagonalizzazione di una matrice.

Serie numeriche, successioni e serie di funzioni

Serie numeriche - Teoremi generali sulle serie numeriche – Vari esempi di serie - Criteri di convergenza delle serie a termini di segno costante – Serie a segni alterni e  criterio di Leibnitz – Serie assolutamente convergenti – Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme – Teoremi sulla continuità, sulla integrazione e sulla derivazione - Serie di funzioni: convergenza assoluta e totale – Serie di potenze: raggio di convergenza - Serie di Taylor e di Mac Laurin – Sviluppo di Mac Laurin di alcune funzioni elementari.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di due o più variabili

Richiami di topologia nel piano: punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati, insiemi aperti e chiusi, insiemi limitati, insiemi compatti, insiemi convessi, insiemi connessi, domini - Funzioni di più variabili: limiti e continuità - Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivata parziale e direzionale – Differenziale totale - Funzioni differenziabili e iperpiano tangente n-dimensionale – Derivate di ordine superiore e lemma di Schwarz – Operatori differenziali: gradiente, divergenza, rotore, laplaciano – Teorema di derivazione delle funzioni composte - Teorema di Lagrange in R² e caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo – Formula di Taylor per funzioni di due variabili – Punti critici, massimi e minimi relativi di una funzione di due variabili - Ricerca degli estremi assoluti su un insieme compatto - Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi e tripli secondo Riemann – Cambiamento di variabili – Formule di riduzione – Integrali dipendenti da un parametro: regola di Leibinz.

Equazioni differenziali ordinarie

Generalità sulle equazioni differenziali – Il problema di Cauchy – Equazioni differenziali lineari del primo ordine – Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili – Teorema di Cauchy sull’esistenza ed unicità della soluzione – Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti – Metodo di Lagrange delle variazioni delle costanti -  Applicazioni ai circuiti elettrici ed alle oscillazioni meccaniche.

Cenni sulla geometria delle curve e sulle forme differenziali lineari

Curve regolari e generalmente regolari - Curve rettificabili e loro lunghezza - Ascissa curvilinea - Integrale curvilineo di una funzione - Forme differenziali lineari - Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare - Forme differenziali esatte:  potenziale di una forma differenziale – Forme differenziali chiuse – Formule di Gauss-Green e calcolo delle aree - Fattore integrante – Trasformazione di Legendre - Applicazioni alla termodinamica.

Cenni sulla geometria delle superfici e sulle forme differenziali quadratiche

Superfici regolari - Piano tangente e versore normale - Area di una superficie - Integrali di superficie di funzioni – Integrali di superficie delle forme differenziali quadratiche - Teorema della divergenza e Teorema di Stokes.

Alcuni testi consigliati :

1) G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica due, ed. Monduzzi

2) M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Analisi Matematica 1, ed. Zanichelli

3) M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica - Analisi Matematica 2, ed. Zanichelli

4) S. Salsa, A.  Squellati: Esercizi di Analisi Matematica 1 e 2, ed. Zanichelli

5) S. Giuffrida, A. Ragusa – Corso di algebra lineare con esercizi svolti, ed. Il Cigno

6) L. Moschini – Esercizi svolti di Analisi Matematica II –ed Esculapio

7) L. Moschini – Lezioni di Analisi Matematica II – ed. Esculapio

L'apprendimento medio degli studenti verrà valutato periodicamente tramite esercitazioni guidate in

aula. L'esame finale consiste di una prova scritta e di un colloquio. Al colloquio si accede una volta

superata la prova scritta. Sia la prova scritta che il colloquio verranno valutati in trentesimi. La

valutazione della prova scritta incide parzialmente sulla formulazione del voto finale. La registrazione

dell'esame avrà luogo solo dopo il superamento del colloquio.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere

Risoluzione di sistemi lineari; Autovalori e autovettori; Diagonalizzazione di matrici; Serie numeriche e serie di funzioni; Equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine; Derivate parziali; differenziabilità; Estremi relativi e assoluti per funzioni reali di due variabili reali; Integrali doppi e tripli; Cambiamenti di variabili negli integrali doppi e tripli.