1000951 - ANALISI MATEMATICA I A - E

L’insegnamento di Analisi Matematica I  ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi e sul calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale e sulle serie numeriche.

In particolare, gli obiettivi del suddetto insegnamento, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti e le derivate e gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale, le serie numeriche.

• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.

• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei testi consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Il corso è diviso in due parti. La prima parte, svolta durante il primo semestre, riguarda la costruzione dei numeri reali, i numeri complessi, le nozioni basilari di topologia, le funzioni di una variabile reale, il calcolo differenziale, le successioni numeriche. La seconda parte, svolta durante il secondo semestre, riguarda le serie numeriche e gli integrali delle funzioni reali di una variabile reale.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che, per l’intero insegnamento, sono previste 49 ore di teoria e 30 ore di esercitazioni.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di base di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria. A supporto di tutti gli studenti che volessero ripassare i prerequisiti richiesti, si suggerisce il MOOC (Massive Open Online Courses) di matematica di base. Il MOOC di matematica di base è un corso online, ad accesso libero e gratuito, prodotto e pubblicato dal CISIA per fornire a studenti e studentesse del quarto e del quinto anno della Scuola Secondaria Superiore un ausilio per accrescere la preparazione in matematica e per affrontare al meglio i corsi di laurea. Le aree scientifiche per cui è stato realizzato il MOOC di Matematica di base sono agraria, economia, farmacia, ingegneria e scienze. I capitoli che lo compongono variano a seconda dell’area scientifica di interesse. Gli argomenti che compongono il MOOC di matematica di base si basano sui sillabi di riferimento delle sezioni di matematica dei test d’ingresso CISIA. Per frequentare il MOOC  è necessario accedere all’area riservata TOLC e all’area esercitazione e posizionamento sul sito del CISIA, da cui si viene reindirizzati alla piattaforma Federica Weblearning.

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere.

Degli argomenti contrassegnati con un asterisco, non si richiedono le dimostrazioni. Le applicazioni al calcolatore sono subordinate al completamente del programma.

1. Insiemi numerici. 
• Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Generalità sull'insieme N dei numeri naturali, sull'insieme Z dei numeri interi e sull'insieme Q dei numeri razionali. L'insieme R dei numeri reali. Alcune conseguenze degli assiomi sui numeri reali*. Intervalli. Valore assoluto di un numero reale. Estremi di un insieme numerico. L'insieme N. Proprietà di Archimede*. Densità di Q e di R-Q in R *. Potenze con esponente reale*.
• Numeri complessi. Definizioni di base. Ordinamento totale. Coordinate polari nel piano. Forma trigonometrica di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma trigonometrica. Forma esponenziale di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso. Equazioni algebriche.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Numeri floating-point, aritmetica esatta e aritmetica floating-point, numeri complessi.

2. Funzioni e limiti. 

• Funzioni. Definizioni di base sulle funzioni. Funzione composta. Funzione inversa. Funzioni reali di una variabile reale: funzioni monotone, funzioni affini e funzioni lineari, funzioni pari e funzioni dispari, funzioni dispari, funzioni limitate e funzioni illimitate, punti di minimo e di massimo globale. Operazioni con le funzioni.
• Limiti. Topologia di R. Punti di minimo e di massimo locale. Limiti. Teoremi sui limiti. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teoremi del confronto. Limiti laterali e teorema sul limite delle funzioni monotone*. Teorema sul limite della funzione composta*. Limit notevoli. Successioni numeriche: definizioni di base, limiti, caratterizzazione sequenziale del limite di funzione*, successioni estratte, successioni definite per ricorrenza.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Definizione di funzioni, anonymous function, function handle, user-defined function, rappresentazione grafica di funzioni.

3. Funzioni continue e confronto locale.

• Funzioni continue. Definizione di funzione continua e risultati di base. Continuità delle funzioni elementari e operazioni tra funzioni continue. Punti di singolarità: singolarità eliminabile, singolarità di prima e di seconda specie. Proprietà delle funzioni continue: proprietà locali e proprietà globali. Teorema di esistenza degli zeri e sua generalizzazione, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Iniettività e stretta monotonia per funzioni continue. Teorema di continuità della funzione inversa*. Numero di Nepero*. Limiti notevoli.
• Confronto locale tra funzioni. Simboli di Bachmann-Landau, confronto tra infinitesimi e infiniti. Asintoti. Funzioni uniformemente continue.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Equazioni non lineari: piano di investimento, equazione di stato di un gas, dinamica delle popolazioni, metodo di bisezione, metodo di Newton, iterazioni di punto fisso.

4. Calcolo differenziale.

• Definizione di funzione derivabile e di derivata. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di derivata prima. Legame tra continuità e derivabilità. Prima formula dell'incremento finito. Derivate delle funzioni elementari. Derivate laterali. Punti di non derivabilità. Definizione di differenziale. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. 
• Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale e loro conseguenze. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze (seconda formula dell'incremento finito, Teorema di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla su un intervallo, Test di monotonia e ricerca degli estremi locali, Test per la ricerca dei punti di minimo e di massimo, Teorema di caratterizzazione delle funzioni strettamente monotone). Teoremi di De L'Hôpital*. Limite della derivata e punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano* e di Lagrange*. Funzioni concave e funzioni convesse. Caratterizzazione della concavità e della convessità tramite la monotonia della derivata prima, Condizione necessaria per i punti di flesso. Criteri delle derivate successive per il riconoscimento dei punti stazionari. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Approssimazioni di funzioni e di dati: climatologia, finanza, biomeccanica, robotica. Approssimazione con i polinomi di Taylor. Interpolazione polinomiale. Differenziazione numerica: problema ed esempi (idraulica, riconoscimento dei contorni, ottica, elettromagnetismo, demografia). Approssimazione delle derivate. Ricerca dei punti di minimo di una funzione reale di una variabile reale tramite il metodo della sezione aurea e dell'interpolazione quadratica.

5. Calcolo Integrale

• Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Alcuni integrali riconducibili ad integrali di funzioni razionali fratte. Integrali trigonometrici. Integrali di funzioni irrazionali.
• Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale secondo Riemann*. Integrale esteso ad un intervallo orientato*. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Integrazione per parti e integrazione per sostituzione per integrali definiti.
• Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Integrazione numerica: formula del punto medio, formula del trapezio, formula di Simpson.

6. Serie numeriche.

• Definizioni di base. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche. Criteri di convergenza per tutte le serie numeriche: aggiunta, eliminazione e modifica di un numero finito di termini di una serie numerica, algebra delle serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.
• Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto, applicazione del criterio del confronto allo studio della serie armonica, criterio del confronto asintotico, criterio della radice, criterio del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy* e sue applicazioni allo studio della serie armonica generalizzata e della serie di Bertrand.
• Criterio di Leibniz e suoi corollari. Criterio della convergenza assoluta.
• Esempi di applicazioni al calcolatore. Serie geometrica e frattali. 

Testi consigliati per i Prerequisiti

[P1] G. Anichini, A. Carbone, P. Chiarelli, G. Conti, Precorso di Matematica, Seconda edizione, Pearson (2018).

[P2] S. Barbero, S. Mosconi, A. Portaluri, Precorso di Matematica, Pearson (2022).

[P3] [Corso online] MOOC (Massive Open Online Courses) di matematica di base.

Testi consigliati per il corso di Analisi Matematica I

[T1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[T2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[T3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

[T4] Dispense fornite dal Docente.

Testi consigliati per gli Esercizi:

[E1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[E2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[E3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

[E4] C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 1, Maggioli Editore (2015).

[E5] Dispense fornite dal Docente (esercizi svolti, esercizi proposti, prove di autovalutazione).

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità.

Modalità A: prove in itinere scritte e prova orale facoltativa

Le prove in itinere menzionate di seguito sono prove scritte. Sono previste due prove in itinere: la prima al termine del primo periodo didattico e la seconda al termine del secondo periodo didattico. La prima prova in itinere verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, mentre la seconda verte sulle UDE 5, 6. È possibile sostenere la seconda prova in itinere soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova in itinere è di 120 minuti. La prova orale è facoltativa.

Date delle prove in itinere.

Le date delle prove in itinere sono reperibili nel sito web del corso di laurea.

Struttura delle prove in itinere.

Ciascuna prova in itinere ha la medesima struttura e deve essere svolta in massimo 120 minuti. In ciascuna prova in itinere verranno proposti due definizioni, due teoremi e quattro esercizi.

Valutazione delle prove in itinere e voto finale.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova in itinere è pari a 30/30. Ciascuna prova in itinere si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Per superare la prova lo studente deve almeno rispondere correttamente a una delle due definizioni proposte, enunciare e dimostrare correttamente uno dei due teoremi proposti e risolvere correttamente due dei quattro esercizi proposti. Lo studente che, pur avendo superato la prima prova in itinere, non avesse superato o sostenuto la seconda prova in itinere, potrà completare l'esame seguendo la Modalità B, sostenendo quindi la prova scritta parziale relativa alle UDE 5, 6 nonché la prova orale dopo aver superato nel suo complesso la prova scritta. In alternativa, lo studente potrà sostenere l'esame completo seguendo la Modalità C.

Il voto finale dell’esame è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove in itinere. La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso ed è facoltativa. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nelle prove in itinere e della valutazione conseguita nell’eventuale prova orale.

Modalità B: prove scritta a moduli e prova orale obbligatoria

La prova scritta è suddivisa in due prove parziali. La prima prova parziale verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, mentre la seconda verte sulle UDE 5, 6. È possibile sostenere la seconda prova parziale soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova parziale è di 120 minuti. La prova orale è obbligatoria. Si precisa che, seguendo tale modalità, le due prove parziali non potranno essere sostenute nel medesimo appello. Superata la prima prova parziale, lo studente potrà sostenere la seconda prova parziale in uno degli appelli successivi e comunque entro e non oltre la terza sessione di esami. La prova orale è obbligatoria e si accede ad essa solo dopo aver superato entrambe le prove parziali.

Date delle prove parziali.

Le date delle prove parziali sono reperibili nel sito web del corso di laurea.

Struttura delle prove parziali.

Le due prove parziali hanno la stessa struttura. In ciascuna prova parziale verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.

Valutazione di ciascuna parte in cui è suddivisa la prova scritta.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova parziale è pari a 30/30. Ognuna delle due prove parziali si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Per superare la prova lo studente deve almeno rispondere correttamente a una delle due definizioni proposte e risolvere correttamente due dei quattro esercizi proposti.  Il voto finale della prova scritta è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove parziali.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale

Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame che terrà conto, laddove ciò sia possibile, delle eventuali preferenze espresse dagli studenti.

Nel caso in cui la prova orale non fosse sufficiente, la Commissione d’Esame indicherà allo Studente una ulteriore data utile in cui sarà possibile sostenere ex novo tale prova. Non sarà necessario sostenere nuovamente la prova scritta. Qualora la prova orale non venisse superata neanche la seconda volta, il docente potrà richiedere il superamento di una nuova prova scritta.

Modalità C: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sui contenuti sulle UDE 1, 2, 3, 4, 5, 6 e, superata essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 120 minuti.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea.

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Per superare la prova lo studente deve almeno rispondere correttamente a una delle due definizioni proposte e risolvere correttamente due dei quattro esercizi proposti.  

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso (si veda la sezione “Contenuti del corso” del Syllabus). Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame che terrà conto, laddove ciò sia possibile, delle eventuali preferenze espresse dagli studenti.

Nel caso in cui la prova orale non fosse sufficiente, la Commissione d’Esame indicherà allo Studente una ulteriore data utile in cui sarà possibile sostenere ex novo tale prova. Non sarà necessario sostenere nuovamente la prova scritta. Qualora la prova orale non venisse superata neanche la seconda volta, il docente potrà richiedere il superamento di una nuova prova scritta.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

La prova orale verte su tutti i contenuti di teoria esposti nel Syllabus (si veda la sezione di “Contenuti del corso”).

Esempi di domande:

Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.

Le principali tipologie di esercizi sono le seguenti:

• Ricerca degli estremi di un insieme numerico.
• Esercizi sui numeri complessi (manipolazioni algebriche, scrittura di numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, determinazione delle radici n-esime di numeri complessi, rappresentazioni di luoghi geometrici nel piano di Argand-Gauss, equazioni nel campo complesso).
• Calcolo di limiti di funzioni o di successioni, possibilmente dipendenti da parametro e/o definite per ricorrenza.
• Studio della continuità e della derivabilità - e calcolo di derivate - di funzioni reali di una variabile reale. Classificazione dei punti di singolarità e dei punti di non derivabilità. 
• Questioni riguardanti l’invertibilità di funzioni e calcolo della derivata delle funzioni inverse.
• Studio di funzione e applicazioni (studio di una funzione e relativo grafico qualitativo, dimostrazione dell’esistenza di soluzioni di equazioni non lineari).
• Calcolo di integrali indefiniti, definiti, generalizzati e/o impropri.
• Studio di funzioni integrali e delle loro proprietà.
• Studio del carattere di serie numeriche, calcolo della somma di una serie.

Lo studente potrà reperire esempi di esercizi d'esame su Studium.