MATEMATICA E INFORMATICAMatematicaAnno accademico 2023/2024

9794083 - REAL ANALISYS

Docente: Biagio RICCERI

Risultati di apprendimento attesi

L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un'approfondita trattazione dei concetti e dei risultati più importanti dell'Analisi reale, col duplice intento di arricchirne il bagaglio culturale nel campo dell'Analisi matematica e di approntargli utili strumenti per la fruizione di altri corsi.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente imparerà ad operare con i più importanti concetti e tecniche tipici dell'Analisi reale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente sarà guidato nella capacità di individuare da sè applicazioni dei risultati generali man mano stabiliti.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre in maniera chiara, rigorosa e concisa.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di affrontare esercizi e trovare da sè dimostrazioni di risultati semplici.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L'insegnamento si svolgerà attraverso lezioni frontali. Nel caso fosse necessario, si userà la via telematica. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus. Gli studenti con disabilità e/o DSA sono invitati a programmare con il docente eventuali misure compensative in base alle specifiche esigenze. Possono anche rivolgersi al docente referente CInAP del DMI.

Prerequisiti richiesti

I contenuti dei corsi di Analisi matematica I e II e di Topologia.

Frequenza lezioni

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.

Contenuti del corso

Elementi di Analisi funzionale: funzionali lineari; teorema di Hahn-Banach; spazi normati; operatori lineari e continui; topologia debole; spazi di Hilbert. Uniforme convessità di L^p. Funzioni essenzialmente limitate. Rappresentazione dei funzionali lineari e continui in L^p. Criteri di compattezza in L^p. Teorema di Radon-Nikodym. Teorema di copertura di Vitali. Funzioni a variazione limitata. Funzioni assolutamente continue. Funzioni holderiane. Funzione singolare di Cantor. Funzioni di Carathéodory. Teorema di Scorza-Dragoni. Soluzioni generalizzate per il problema di Cauchy in ipotesi di Carathéodory.

Testi di riferimento

1. E. Hewitt and K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, Springer, 1965.

Il docente fornirà inoltre alcuni appunti che saranno pubblicati sulla pagina Studium del corso.

Programmazione del corso

	Argomenti	Riferimenti testi
1	Elementi di Analisi funzionale (12 ore)	1, appunti
2	Spazi L^p (10 ore)	1, appunti
3	Teorema di Radon-Nikodym, funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente continue (20 ore)	1, appunti
4	Funzioni di Carathéodory e soluzioni generalizzate per il problema di Cauchy (5 ore)	1, appunti

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione). La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. Per l'attribuzione del voto si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Teorema di Hahn-Banach

Criteri di compattezza negli spazi L^p

Rappresentazione dei funzionali lineari e continui negli spazi L^p

Teorema di Radon-Nikodym

Teorema di copertura di Vitali

Derivabilità quasi ovunque di una funzione a variazione limitata

Formula fondamentale del calcolo integrale per le funzioni assolutamente continue

Funzione singolare di Cantor

Teorema di esistenza per il problema di Cauchy in ipotesi di Carathéodory

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