1000634 - GEOMETRIA II

Obiettivi Formativi:
Obiettivo dell'insegnamento è completare le conoscenze di algebra lineare del corso di Geometria 1 presentando alcuni concetti fondamentali di questa teoria, nonché fornire una trattazione pressoché completa della geometria degli spazi affini e euclidei da un lato e quella degli spazi proiettivi dall' altro nello spirito del Programma di Erlangen elaborato da F. Klein (studio delle classi di equivalenza tramite un determinato gruppo di trasformazioni che agisce sullo spazio ambiente). Gli strumenti introdotti sono anche utilizzati per studiare la geometria delle ipersuperfici algebriche nei vari ambienti con particolare enfasi relativamente al caso degli enti quadratici in dimensione arbitraria e alle proprietà locali e globali delle curve algebriche piane.

Risultati Apprendimento Attesi:
Al ternine dell'insegnamento lo studente dovrà dimostrare di conoscere gli strumenti di algebra lineare avanzata e di geometria introdotti nel corso. Dovrà inoltre saper adeguatamente inquadrare e trattare i problemi di algebra lineare e di geometria  nei vari ambiti considerati, sia da un punto di vista teorico (sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di definizioni, teoremi e delle idee principali delle relative dimostrazioni) e sia da un punto di vista pratico (risoluzione di esercizi nelle prove scritte).

L' insegnamento consiste di  lezioni frontali teoriche tenute dal docente, di esercitazioni pratiche e dello studio dettagliato di esempi, questi ultimi approfonditi dal docente oppure da docenti tutor in complemento al corso.

Le esercitazioni pratiche prevedono una partecipazione cooperativa da parte degli studenti tramite lo svolgimento di semplici calcoli e deduzioni immediate per verificare il grado di comprensione degli argomenti trattati e quanto stiano effetivamente studiando gli argomenti teorici appresi.  Queste attività pratiche  assicurano di pari grado l' assimilazione dei contenuti del corso e la capacità di risolvere problemi concreti anche in vista del superamento della prova scritta e della prova orale.
 

Lo studente dovrebbe almeno conoscere i contenuti del corso di Geometria 1 ed è fortemente consigliato aver appreso i concetti di base del corso di Algebra (gruppo, anello, campo).

Fortemente consigliata.

 Struttura del corso: 

12 CFU - 94 ore totali

70 di lezione frontale

24 di esercitazione

Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso e sul Team del corso creato all' inizio dell' anno accademico. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma:
 
Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. Endomorfismi autoaggiunti, matrici normali e operatori normali, teorema spettrale per operatori normali.
 
Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività.
 
Generalità algebriche sui polinomi (omogenei). Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni tra le due teorie. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente e sua equazioni. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino
b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.
 
Materiale didattico: Appunti di tutti gli argomenti del corso sono disponibili al seguente link: 
 https://drive.google.com/file/d/1pCkZRyqSCyawPybrHTLgh3gN8IQD4hca/view

Inoltre nel Team del corso si trovano file PDF con vari esercizi e con prove scritte assegnate, un buon numero delle quali con svolgimento completo.

 

L'esame consiste di una prova scritta della durata di tre ore e di un colloquio orale di durata variabile (anche in funzione dell' esito della prova scritta).

La preparazione rigorosa alla prova scritta consentirà allo studente di applicare in esempi concreti gli strumenti teorici appresi.
L' esame orale necessiterà di una esposizione chiara e precisa dei contenuti teorici sviluppati durante il corso, verificando la maturazione dell'apprendimento da parte degli studenti, la loro capacità espositiva ed il grado di elaborazione dei contenuti raggiunto.

Gli studenti che svolgono una prova scritta con voto inferiore a 12/30 non sono ammessi a sostenere la prova orale e dovranno ripetere la prova scritta.

La prima prova in itinere si terrà durante la pausa  tra i semestri. Consiste di una prova scritta di tre ore e di una prova orale sui contenuti del corso relativi al primo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.
La seconda prova in itinere si terrà a fine corso, di norma in concomitanza con il primo appello utile di giugno. Consiste di una prova scritta di tre ore e di una prova orale, che verterà sui contenuti del corso relativamente al secondo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.

La verifica dell' apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.  In tal caso la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazioni.

Di norma i voti verranno assegnati secondo il seguente schema:

Sul Team del Corso  e' possibile visualizzare le prove scritte assegnate negli anni precedenti.
Le domande nel colloquio orale  mirano ad accertare l' effettiva comprensione degli enunciati dei teoremi principali e delle loro applicazioni piuttosto che limitarsi alla verifica di una nozionistica conoscenza delle dimostrazioni. Verranno formulate su alcuni degli argomenti del Programma mantenendo un equilibrio tra i contenuti di Algebra Lineare avanzata e quelli di Geometria.