72877 - MATEMATICA GENERALE

1. Conoscenza e capacità di comprensione: Lo studente riceverà gli strumenti di base che gli permetteranno di potersi confrontare con i moderni approcci formali alle scienze economiche e aziendali. L’enfasi sarà posta sui principi basilari della matematica applicata all’economia piuttosto che su uno sterile tecnicismo. Si cercherà anche di dare un’idea delle possibili applicazioni degli strumenti introdotti. Più in generale si cercherà di educare lo studente ad un approccio rigoroso all’analisi dei fenomeni economici ed aziendali. Il rigore della trattazione matematica consentirà allo studente di acquisire una forma mentis che gli sarà utile per tutte le altre materie del suo corso universitario e, più in generale, per tutte le tematiche professionali che incontrerà.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà messo in grado di analizzare rigorosamente un problema matematico e di utilizzare i concetti di base al fine di trarre opportune conclusioni. Lo studente sarà in grado di risolvere semplici ma non banali problemi matematici. Lo studente sarà in grado di condurre un ragionamento matematico mediante l’introduzione di rigorose definizioni e la dimostrazione di alcuni teoremi particolarmente significativi. Lo studente sarà anche in grado di applicare le conoscenze apprese alla formalizzazione di alcuni basilari problemi economici e aziendali quali la massimizzazione del profitto e la massimizzazione del’utilità.
3. Autonomia di giudizio: lo studente sarà educato ad elaborare autonomamente l’approccio più adeguato ai problemi propostigli rifuggendo da sterili applicazioni di schemi ripetitivi. Lo studente sarà educato a giudicare la formalizzazione proposta da diversi punti di  vista quali l’eleganza del modello, la potenza dello strumento matematico, la difficoltà computazionale e così via.
4. Abilità comunicative: lo studente dovrà essere in grado di apprendere i termini tecnici e di sapere esprimere in maniera appropriata la formalizzazione del problema e i risultati con essa ottenuti. Lo studente dovrà essere in grado di dare una presentazione formalizzata dei fenomeni economici e aziendali. Lo studente saprà discutere criticamente modellizazioni quantitative relative a fenomeni economici e aziendali.
5. Capacità di apprendimento: considerato il sempre crescente ricorso alla formalizzazione matematica nella trattazioni di temi economici e aziendali, il corso metterà lo studente in grado di accedere alla letteratura più qualificata in questi settori, costituendo una imprescindibile base per il futuro apprendimento sia a livello didattico che a livello professionale.

Le lezioni saranno frontali e sono previste delle esercitazioni pratiche in cui verrà mostrato come applicare le nozioni che sono state introdotte durante le lezioni.

Pur non essendo previsto alcun prerequisito formale, la conoscenza dei seguenti contenuti è ritenuta comunque molto utile: Le quattro operazioni e le loro proprietà; numeri primi, scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo; frazioni e operazioni sulle frazioni; potenze, radici e logaritmi; monomi, polinomi e scomposizione di polinomi; equazioni e disequazioni di primo e secondo grado; equazioni e disequazioni fratte; equazioni e disequazioni in valore assoluto; elementi di base di geometria euclidea (circonferenza, poligoni, Teorema di Pitagora, misura delle grandezze geometriche)

Obbligatoria

Parte I: 

ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA: linguaggi e proposizioni; connettivi; quantificatori.

INSIEMI: proprietà, sottoinsiemi, operazioni. Applicazioni. Relazioni binarie. Numeri reali e disequazioni. Cenni di trigonometria.

CALCOLO COMBINATORIO: disposizioni, combinazioni e permutazioni, semplici e con ripetizione. Binomio di Newton, coefficienti binomiali.

MATRICI E DETERMINANTI: definizioni e classificazioni. Somma e prodotto di matrici. Matrice inversa. Determinante e sue proprietà. Rango di una matrice.

SISTEMI LINEARI: forme lineari. Definizioni e proprietà. Sistemi lineari normali: metodo di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione di sistemi parametrici.

Parte II:

GEOMETRIA ANALITICA: coordinate cartesiane. Equazione della retta nel piano.

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE: definizioni, classificazioni, rappresentazione geometrica. Funzioni composte e inverse. Limiti: definizioni e teoremi. Funzioni continue. Infinitesimi ed infiniti.

DERIVATE E DIFFERENZIALI: definizioni, proprietà e loro significato geometrico. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e differenziali di somma, prodotto e quoziente di funzioni. Derivate di funzioni composte e inverse. Derivate e differenziali successivi. Principali teoremi sulle funzioni derivabili.

APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE: Formule di Taylor e di Mac Laurin. Forme indeterminate. Funzioni monotone, funzioni convesse, estremi relativi e assoluti,  flessi, asintoti. Studio di funzioni. Elasticità di una funzione.

Parte III:

INTEGRALI: integrale indefinito e primitive. Integrale definito e suo significato geometrico. Principali metodi di integrazione.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

1. S. Corrente, S. Greco, B. Matarazzo, S. Milici, "Matematica Generale", Giappichelli Editore, Torino, 2021.
2. B. Matarazzo, M. Gionfriddo, S. Milici  “Esercitazioni di Matematica” ed. Tringale, Catania,1990.
3. A. Giarlotta, S. Angilella, “Matematica generale. Teoria e pratica con quesiti a scelta multipla. VOLUME 1. Logica – Insiemistica – Combinatorica - Insiemi numerici”. Giappichelli Editore, 2013.

L'esame della materia prevede il superamento di una prova scritta e di un successivo colloquio orale a cui è possibile accedere solo dopo aver superato la prova scritta.  

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

1. Quali sono le principali operazioni sugli insiemi (unione, intersezione, prodotto cartesiano, differenza, complemento) e le loro proprietà?
2. Cos’è l’insieme delle parti e qual è la sua cardinalità?
3. Mi enuncia il teorema dei 4 cardinali?
4. Cos’è un’applicazione?
5. Quando una funzione si dice biunivoca?
6. Cos’è la funzione inversa e quando si può calcolare?
7. Cos’è una relazione e quando si dice binaria?
8. Cos'è una partizione di un insieme? 
9. Cos’è una relazione di equivalenza? Mi enuncia e dimostra i teoremi che legano una relazione di equivalenza a una partizione di un insieme?
10. Cos’è una relazione di ordinamento parziale e quando si dice totale?
11. Cosa sono le disposizioni, combinazioni e permutazioni semplici e con ripetizione?
12. Cos’è il coefficiente binomiale e quali sono le sue proprietà? (Proprietà di simmetria e formula di Stifel)
13. Cos’è il triangolo di Tartaglia e com’è legato alla formula di Stifel?
14. Cos’è il binomio di Newton?
15. Cos’è una matrice e quali sono le operazioni che si possono svolgere su di esse?
16. Cos’è una matrice estratta?
17. Cos’è la matrice inversa? Quali sono le sue proprietà?
18. Cos’è il determinante di una matrice e di quali proprietà gode?
19. Mi enuncia i 2 teoremi di Laplace?
20. Mi enuncia il teorema di Binet?
21. Cos’è un minore di ordine r di una matrice? Cosa sono il suo minore complementare ed il suo complemento algebrico?
22. Cos’è la matrice aggiunta e di quali proprietà gode?
23. Cos’è il rango di una matrice e di quali proprietà gode?
24. Mi enuncia il teorema di Pascal? (Teorema delle orlate)
25. Cos’è una forma lineare?
26. Quando un sistema lineare si dice possibile, impossibile, determinato o indeterminato?
27. Cosa e quali sono i principi di equivalenza dei sistemi lineari?
28. Mi enuncia e dimostra il teorema di Cramer? A cosa serve il metodo di Cramer?
29. Mi enuncia il teorema di Rouchè-Capelli?
30. Mi scrive l’equazione generale di una retta e mi dimostra le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra due rette?
31. Cosa sono e di quali proprietà godono l’estremo inferiore e l’estremo superiore di un insieme numerico? Cosa sono il minimo e il massimo di un insieme numerico?
32. Quando due insiemi numerici si dicono separati e quando si dicono contigui?
33. Cosa sono i punti interni, i punti di frontiera e i punti di accumulazione di un insieme?
34. Cosa sono la chiusura e l’apertura di un insieme?
35. Quando un insieme si dice aperto e quando si dice chiuso?
36. Mi enuncia il teorema di Bolzano-Weierstrass?
37. Cosa sono il dominio, il codominio, l’estremo superiore, l’estremo inferiore, il massimo e il minimo e il grafico di una funzione reale di variabile reale?
38. Cos’è il limite di una funzione e quando essa si dice convergente per x che tende a x₀?
39. Quando una funzione si dice divergente?
40. Mi enuncia i principali teoremi sui limiti (unicità del limite, primo e secondo teorema del confronto)?
41. Cos’è una funzione continua? Cosa sono i punti di discontinuità e quante specie ne esistono?
42. Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni continue (teorema di esistenza dei valori intermedi, teorema di esistenza degli zeri, teorema di Weirstrass, etc.)?
43. Quando una funzione si dice monotona?
44. Cosa sono le funzioni pari, dispari e periodiche?
45. Cosa si intende per confronto tra infinitesimi e confronto tra infiniti?
46. Cos’è la derivata di una funzione dal punto di vista analitico e qual è la sua interpretazione geometrica?
47. Cos’è un punto di non derivabilità e quanti punti di non-derivabilità esistono? (Punti angolosi, punti cuspidali, punti di flesso a tangente verticale)
48. Che relazione esiste tra derivabilità e continuità di una funzione?
49. Mi enuncia i teoremi relativi alla derivata di una somma algebrica di funzioni, del prodotto di funzioni, del rapporto di funzioni e di funzioni composte?
50. Cos’è il differenziale di una funzione e qual è la sua interpretazione geometrica?
51. Cos’è l’elasticità di una funzione?
52. Mi enuncia e dimostra i teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange?
53. Qual è l’interpretazione geometrica dei teoremi di Rolle e Lagrange?
54. Mi enuncia il teorema di de l'Hôpital?
55. Cosa sono la formula di Taylor e la formula di Mac Laurin? A cosa servono?
56. Quando una funzione si dice crescente (decrescente) in x₀?
57. Mi enuncia e mi dimostra i principali teoremi sulle funzioni crescenti (o decrescenti) in un punto?
58. Cos’è un punto di massimo (minimo) relativo?
59. Mi enuncia e dimostra il teorema di Fermat? Qual è la sua interpretazione geometrica? Si può invertire?
60. Mi enuncia i teoremi che danno condizioni sufficienti per l’esistenza di punti di massimo e minimo relativo?
61. Quando una funzione si dice convessa (rivolge la concavità verso l’alto) e quando si dice concava (rivolge la concavità verso il basso)?
62. Mi enuncia i principali teoremi sulle funzioni convesse e sulle funzioni concave?
63. Cos’è un punto di flesso? Mi enuncia i principali teoremi sui punti di flesso?
64. Cos’è un asintoto? Quanti tipi di asintoti ci sono? (Verticale, orizzontale, obliquo)
65. Cos’è una primitiva di una funzione?
66. Mi dimostra che tutte le primitive di una funzione differiscono per una costante?
67. Cos’è l’integrale indefinito e quali sono le sue principali proprietà?
68. Cos’è il metodo di integrazione per parti?
69. Cos’è l’integrale definito e qual è la sua interpretazione geometrica? Quali sono le classi di funzioni integrabili?
70. Quali sono le proprietà dell’integrale definito?
71. Mi enuncia e dimostra le due versioni del teorema della media? Qual è la loro interpretazione geometrica?
72. Mi enuncia e dimostra il teorema di Torricelli-Barrow?
73. Perché il teorema di Torricelli-Barrow è anche detto teorema fondamentale del calcolo integrale? Qual è il legame tra integrale indefinito e integrale definito?