COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

MAT/05 - 6 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

BIAGIO RICCERI
Email: ricceri@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica - Studio n. 350
Telefono: 095-7383057
Orario ricevimento: http://web.dmi.unict.it/docenti/biagio.ricceri


Obiettivi formativi

L'obiettivo principale del corso è quello di mostrare come i contenuti di Analisi matematica I e II appresi dallo studente in ambito euclideo possano essere estesi al generale contesto degli spazi di Banach, mettendo in luce, in particolare, alcune significative applicazioni di tali estensioni.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente imparerà ad utilizzare nel contesto degli spazi di Banach i metodi appresi nei corsi di Analisi matemnatica I e II.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente sarà guidato nella capacità di individuare da sè applicazioni dei risultati generali man mano stabiliti.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare da sè alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre in maniera chiara, rigorosa e concisa.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di affrontare esercizi e trovare da sè dimostrazioni di risultati semplici.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L'insegnamento si svolgerà attraverso lezioni frontali. Nel caso fosse necessario, si userà la via telematica. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

I prerequisiti richiesti si possono individuare nei contenuti dei corsi di Analisi matematica I e II.



Frequenza lezioni

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.



Contenuti del corso

Calcolo differenziale negli spazi di Banach. Nozioni di base sugli spazi di Banach. Operatori lineari e continui tra spazi di Banach. Operatori differenziabili. Teorema di Lagrange e sue applicazioni. Diffeomorfismi di classe C^1. Teorema d'inversione locale. Teorema sulle funzioni implicite. Derivate d'ordine superiore. Formula di Taylor. Estremi locali di funzioni reali definite in uno spazio di Banach. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti del primo e del secondo ordine.

 

Calcolo integrale per funzioni a valori in spazi di Banach. Funzioni integrabili secondo Riemann. Integrale di Riemann. Funzioni fortemente misurabili. Funzioni integrabili secondo Bochner. Teorema di Lusin. Integrale di Bochner. Teorema della media. Successioni di funzioni integrabili secondo Bochner. Teorema della convergenza dominata.

 

Equazioni differenziali ordinarie in spazi di Banach. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano. Teorema di non esistenza di Godunov. Teorema di esistenza ed unicità. Equazioni differenziali lineari. Applicazioni ai sistemi di infinite equazioni differenziali ordinarie. Applicazioni ad alcune classi di equazioni differenziali a derivate parziali.



Testi di riferimento

1. H. Cartan, Differential calculus on normed spaces: a course in Analysis, 2017.

2. E. Hille - R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, 1957.

Il docente fornirà inoltre alcuni appunti che saranno pubblicati sulla pagina Studium del corso.


Altro materiale didattico

Il docente fornirà alcuni appunti che saranno pubblicati sulla pagina Studium del corso.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Calcolo differenziale negli spazi di Banach (16 ore)1, appunti 
2Calcolo integrale per funzioni a valori in spazi di Banach (16 ore)2, appunti 
3Equazioni differenziali ordinarie in spazi di Banach (15 ore)1, appunti 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'esame consiste in una prova orale nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione). La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Operatori differenziabili

 

Funzioni integrabili secondo Bochner

 

Sistemi di infinite equazioni differenziali ordinarie




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