ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 M - Z

MAT/05 - 6 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

ORNELLA NASELLI


Obiettivi formativi

L'obiettivo di questo insegnamento è quello di ampliare le conoscenze di Analisi Matematica già acquisite nel corso di EAM1. In particolare gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà il calcolo integrale per le funzioni reali di una variabile, il calcolo differenziale per le funzioni di più variabili e il carattere delle serie numeriche e di alcune serie di funzioni notevoli.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa. Sarà in grado di calcolare integrali indefiniti e definiti, di riconoscere e confrontare le più comuni serie numeriche, di individuare le proprietà analitiche di una funzione di più variabili reali e di applicare le nozioni del calcolo differenziale ai problemi di ottimizzazione.

Autonomia di giudizio ( Making judgements) Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previste esercitazioni guidate in cui gli studenti potranno confrontarsi criticamente, discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative ( Communication skills) La frequenza alle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente nell’utilizzo del linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni lo studente apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento ( Learning skills) Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, anche attraverso le esercitazioni, sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze e di affrontare nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali, in presenza o in modalità mista. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno delle esercitazioni guidate, in cui saranno proposti vari esercizi, anche a risposta multipla. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Il corso è affiancato da attività didattiche integrative, svolte da tutor, in occasione delle quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi ed esponendo parti del programma.


Prerequisiti richiesti

Per potere frequentare le lezioni in modo proficuo è necessario avere almeno studiato la teoria delle successioni numeriche e il calcolo infinitesimale e differenziale per le funzioni di una variabile.

Per potere sostenere l'esame di EAM2 occorre in ogni caso avere già superato l'esame di EAM1.



Frequenza lezioni

La frequenza è di norma obbligatoria (cfr. Regolamento didattico del CdS). Per monitorare e perfezionare la propria preparazione, agli studenti si consiglia fortemente di frequentare anche le attività integrative e di approfittare delle ore di ricevimento della docente.



Contenuti del corso

1. Funzioni reali di più variabili reali.

Limiti e continuità per una funzione di due o più variabili. Derivate parziali. Differenziabilità.

Ricerca degli estremi assoluti e relativi.

2. Integrazione indefinita e definita secondo Riemann.

Primitive. Integrale indefinito e sue proprietà. Metodi di integrazione indefinita Integrali di particolari classi di funzioni. Cenni sulla misura secondo Peano-Jordan.Funzioni integrabili secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale definito. Funzione integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri.

3. Equazioni differenziali.

Generalità. Problema di Cauchy. Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni lineari. Metodi risolutivi per le equazioni lineari a coefficienti costanti.

4. Serie numeriche e cenni sulle serie di funzioni.

Generalità sulle serie numeriche. Serie a termini di segno costante. Serie assolutamente convergenti. Serie a segni alterni. Proprietà commutativa. Cenni sulle serie di potenze. Sviluppo in serie di alcune funzioni elementari.

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Il programma dettagliato sarà disponibile alla fine del corso.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni. Sul diario delle lezioni, aggiornato quotidianamente su Studium, si potrà conoscere in dettaglio quali argomenti sono stati trattati.

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevolerà l’apprendimento.



Testi di riferimento

1. Per la teoria: sul portale Studium verranno ipubblicate delle dispense che costituiscono il testo ufficiale del corso. Tali appunti sono destinati esclusivamente agli studenti del corso ed è vietato ogni altro utilizzo.

2. Per gli esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. 1, parte seconda e Vol. 2 parte prima, Zanichelli.


Altro materiale didattico

Tutte le comunicazioni ufficiali e il materiale didattico integrativo del corso verranno inseriti su Studium.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Funzioni reali di più variabili reali: limiti, continuità, calcolo differenziale e sue applicazioni circa 12 ore
2Integrazione indefinita e definita secondo Riemann circa 16 ore
3Equazioni differenziali ordinarie circa 10 ore
4Serie circa 14 ore


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

Alla fine della trattazione di ciascuno dei quattro capitoli che compongono il programma è prevista una “prova capitolo” (nel seguito, P.C.), non obbligatoria; essa si svolgerà esclusivamente in aula e avrà una durata di 90 minuti, consisterà in un elaborato scritto composto da due quesiti teorici, anche a risposta multipla (di norma, uno con dimostrazione e uno senza) e due esercizi tecnici. Entro pochi giorni dalla prova, sarà comunicato l’esito, consistente in un voto (da 18 a 30 e lode) o il giudizio “non superato”. Gli studenti che superano tutte le quattro P.C. acquisiranno automaticamente i CFU relativi all’insegnamento, con il voto dato di norma dalla media aritmetica dei voti riportati nelle quattro prove. La verbalizzazione potrà avvenire previa prenotazione per il primo appello utile. In tale occasione, i candidati potranno chiedere di sostenere un breve colloquio orale per migliorare il voto, ma in tal caso il voto finale potrebbe anche peggiorare. Gli studenti che superano almeno due P.C. potranno sostenere l’esame finale nella prima sessione (febbraio/marzo) sulla parte del programma relativa alle P.C. non superate. Se sceglieranno di presentarsi nelle sessioni successive, dovranno sostenere l’esame su tutto il programma. Tutti gli altri (ovvero, coloro che hanno superato solo una o nessuna P.C.) sosterranno l’esame finale su tutto il programma in uno qualunque degli appelli disponibili.

L’esame finale è strutturato nel seguente modo: lo studente dovrà svolgere un esercizio, a scelta fra due proposti, in 30 minuti. Coloro che avranno riportato una valutazione almeno sufficiente nello svolgimento dell'esercizio sosterranno nella stessa giornata la prova orale. La valutazione della prova tiene conto anche dell’esposizione corretta e dell’assenza di gravi errori concettuali.

La verifica finale dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, essa consisterà in un colloquio orale, della durata massima di 30 minuti, comprendente sia domande di teoria sia lo svolgimento di qualche esercizio.

In ogni caso, le P.C. non potranno essere svolte per via telematica.

Per partecipare a qualunque prova (P.C. o esame finale) è necessario avere effettuato la prenotazione online.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Gli esempi verranno pubblicati sul portale Studium.




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