Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): definizioni e teoremi riguardanti i concetti fondamentali degli spazi vettoriali, applicazioni lineari ed endomorfismi, costruzioni di base e teoremi riguardanti rette e piani nello spazio e le coniche nel piano, definizioni e teoremi inerenti la classificazione delle quadriche.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): saper calcolare il rango di una matrice, con o senza parametro, sapere studiare uno spazio vettoriale, sapere fare lo studio di un'applicazione lineare, saper determinare autovalori e autovettori di endomorfismi, sapere fare la diagonalizzazione di una matrice, essere in grado di risolvere problemi di geometria lineare inerenti punti, rette e piani nello spazio, sapere classificare le coniche e le quadriche e studiare i fasci di coniche nel piano.
Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Sono previste delle ore di esercitazione, al di fuori dell'orario dele lezioni, svolte da un tutor qualificato. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quantodichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Risoluzione di equazioni e disequazioni di grado minore o uguale a 3. Fattorizzazione di polinomi tramite procedure elementari da applicare in casi particolari, come ad esempio nel caso del "raccoglimento a fattor comune" o in una "differenza di quadrati". Funzioni goniometriche seno, coseno e tangente e valori che assumono in angoli notevoli. Radice quadrata e valore assoluto di un numero reali. Logica elementare e teoria elementare degli insiemi.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.
Algebra Lineare:
Geometria:
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | Introduzione alla teoria degli insiemi. Introduzione ai campi e spazi vettoriali. Determinante di una matrice. Calcolo del rango e riduzione di una matrice. Risoluzione dei sistemi lineari. Tempo richiesto: 9 ore | Libro di teoria: capitoli 1,3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
2 | Operazioni con le matrici. Tempo richiesto: 2 ore | Libro di teoria: capitolo 3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
3 | Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Tempo richiesto: 9 ore | Libro di teoria: capitolo 2 Libro di esercizi: capitolo 2 |
4 | Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base da un sistema di generatori e completamento a base di un insieme libero. Tempo richiesto: 2 ore | Libro di teoria: capitolo 2 Libro di esercizi: capitolo 2 |
5 | Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione lineare. Calcolo di immagini e controimmagini. Tempo richiesto: 10 ore | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitoli 3,4 |
6 | Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo ,5 |
7 | Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice. Tempo richiesto: 9 ore | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 6 |
8 | Applicazioni sotto condizione. Restrizioni ed estensioni di applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore. | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitoli 7,8 |
9 | Generalità sul calcolo vettoriale. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Assegnazione di una retta e di un piano e loro equazioni. Punti impropri. Intersezioni. Parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette e piani. Distanze. Tempo richiesto: 10 ore | Libro di teoria: capitoli 1, 2, 3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
10 | Angoli. Proiezioni ortogonali. Rette bisettrici e piani bisettori. Simmetrie. Luoghi di rette. 3 ore | Libro di teoria: capitoli 1, 2, 3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
11 | Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano, invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica. Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche. Tempo richiesto: 8 ore | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo 2 |
12 | Studio completo delle coniche. Coniche sotto condizione. Tempo richiesto: 4 ore. | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo 2 |
13 | Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di una quadrica e quadriche degeneri. Conica all’infinito. Coni e cilindri. Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Tempo richiesto: 7 ore. | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 3 |
14 | Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere. Tempo richiesto: 2 ore. | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 3 |
PROVA D'ESAME: La prova d'esame è composta da una prova scritta (la cui durata è di norma 3 ore) e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30). Verranno proposti uno o più quesiti a risposta aperta riguardanti sia la parte di Algebra lineare che la parte di Geometria.
PROVE IN ITINERE: Durante lo svolgimento delle lezioni sono previste due prove in itinere, entrambe della durata di circa 2 ore, riservate esclusivamente agli studenti del primo anno. Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.
La prima prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella prima parte del corso (dedicata allo studio dell'Algebra Lineare). Il superamento della prima prova in itinere permette di acquisire fino a 15 (superamento della prova con voto pari a 6).
La seconda prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella seconda parte del corso (dedicata allo studio della Geometria Analitica). La partecipazione alla seconda prova è indipendente dalla partecipazione alla prima e dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta. Questa seconda prova permette di ottenere un voto massimo di 15 (superamento della prova con voto pari a 6).
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esercizi di Algebra Lineare
1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.
2. Studio della semplicità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando possibile, una base di autovettori.
3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.
4. Esercizi sugli spazi vettoriali e sulla loro dimensione, su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte, restrizioni ed estensioni.
Esercizi di Geometria
1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.
2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una conica. Coniche sotto condizione.
3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica intersezione di una quadrica con un piano.
Sono possibili semplici esercizi a carattere teorico. Sapere dimostrare o confutare un enunciato di Algebra Lineare o Geometria.