ANALISI MATEMATICA II M - Z

MAT/05 - 9 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

SALVATORE LEONARDI
Email: salvatore.leonardi1@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica (Terzo Blcco, Ufficio 52), Viale A. Doria, 6 Catania
Telefono: 095 7383021
Orario ricevimento: http://web.dmi.unict.it/docenti/salvatore.leonardi


Obiettivi formativi

A fine corso lo Studente sapra' calcolare aree di superfici, volumi di solidi, sviluppare in serie alcune funzioni notevoli e trovare soluzioni di particolari tipi di equazioni differenziali ordinarie.

 

Alla fine del corso lo Studente acquisirà conoscenze sia teoriche sia pratiche sui principali contenuti del corso.

1. Conoscenza e comprensione - Knowledge and understaning: Lo Studente sarà in grado di comprendere e assimilare le definizioni ed i principali risultati dell’analisi matematica di base, per funzioni di più variabili reali, necessari per la trattazione e modellizzazione dei problemi derivanti dalle scienze applicate.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione - Applying Knowledge and understaning: Lo Studente sarà in grado di acquisire un appropriato livello di autonomia nella conoscenza teorica e nell’utilizzo degli strumenti analitici di base. Il corso prepara allo studio delle serie di Fourier ed alle trasformate di Fourier e Laplace.

3. Autonomia di giudizio - Making judgements: Capacità di riflessione e di calcolo. Capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzione di problemi ed esercizi.

4. Abilità comunicative - Communication skills: Capacità di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato.

5. Capacità di apprendimento - Learning skills: Capacità di approfondimento e di sviluppo delle conoscenze acquisite. Capacità di usare criticamente tabelle e strumenti analitici e informatici di calcolo simbolico.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L'insegnamento si svolge mediante lezioni frontali

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

Lo studente deve almeno conoscere il concetto di limite di una funzione reale di una variabile reale e saper differenziare ed integrare una funzione reale di una variabile reale.



Frequenza lezioni

Fortemente consigliata



Contenuti del corso

N.B.: Gli aromenti contrassegnati con un asterisco devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.

1. Successioni e Serie di Funzioni. *Successioni di funzioni reali di variabile reale. *Serie di funzioni. *Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuita', di integrazione per serie e di derivazione per serie (solo enunciati). *Serie di potenze nel campo reale. *Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy--Hadamard. *Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze (solo enunciati). *Serie di Taylor. *Criterio per la Sviluppabilita' in serie di Taylor. *Sviluppi in serie notevoli.

2. Funzioni reali di due o piu' variabili reali. Elementi di topologia in R^2 e R^3. Insiemi limitati. Aperti connessi. *Limiti e continuita'. Teorema di Weierstrass. *Derivate parziali. Derivate successive. *Teorema di Schwartz (solo enunciato). *Gradiente. *Differenziabilita'. *Differenziabilita' e continuita'. Teorema del differenziale. *Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. *Funzioni a gradiente nullo in un connesso. *Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo.

3. Cenni sulle equazioni differenziali e metodi risolutivi di alcune di esse. Posizione del problema. *Problema di Cauchy. *Proprieta' generali delle equazioni lineari. *Equazioni differenziali lineari del primo ordine. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Caratterizzazione dell'indipendenza di due soluzioni. *Caratterizzazione dell'integrale generale delle equazioni lineari del secondo ordine omogenee. *Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee. *Metodo delle variazioni delle costanti di Lagrange. Equazione di Eulero. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale. *Equazione a variabili separabili, *omogenea, *di Bernoulli.

4. Integrali curvilinei e forme differenziali in R^2 e R^3. *Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. *Rettificabilita'. *Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. *Forme differenziali. *Integrale curvilineo di una forma differenziale. *Forme differenziali esatte. *Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. *Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. *Potenziale di una forma differenziale. *Forme differenziali chiuse. Forme differenziali in un rettangolo. *Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di R^2 e di R^3.

5. Cenni sull'integrazione in R^2 e R^3 secondo Riemann. Domini normali di R^2. *Integrabilita' su domini normali. *Formule di riduzione per gli integrali doppi. Teorema di Fubini--Tonelli. *Formule di Gauss--Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Formule di integrazione per parti. *Formule per il calcolo dell'area. *Cambiamento di variabili negli integrali doppi. *Domini normali rispetto a un piano. *Integrali tripli. *Cambiamento di variabili negli integrali tripli.

6. Cenni sulle serie di Fourier. Polinomio trigonometrico. Serie trigonometrica. Convergenza in L^2 di una serie di Fourier.



Testi di riferimento


[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.

[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.


Altro materiale didattico

Il materiale didattico consiste negli appunti dettati a lezione e nei libri di testo consigliati.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Metodi risolutivi di equazioni differenziali ordinarie[1], cap. 1, 12 ore 
2Calcolo infinitesimale per le curve[1], cap. 2, 7 ore 
3Calcolo differenziale per funzioni reali di piu' variabili reali[1], cap 3, 12 ore 
4Estremi liberi e vincolati di una funzione di piu' variabili[1], capp. 3- 4, 12 ore 
5Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili[1], cap. 5, 12 ore 
6Campi vettoriali e forme differenziali[1], cap. 6, 12 ore 
7Serie di potenze e serie di Fourier[1], cap. 7, 12 ore 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

1. Vengono somministrate due prove in itinere (A e B);

2. È possibile partecipare alla seconda prova in itinere senza aver superato la prima;

3. Il superamento di entrambe le prove permette di accedere alla prova orale;

4. Anche le prove scritte degli esami regolari sono costituite da due parti A e B;

6. Il superamento di una sola prova permette allo studente di essere esonerato dalla relativa sezione nell’esame finale (aumentando, quindi, il tempo a propria disposizione) negli appelli del corrente a.a.;

7. I benefici del superamento delle prove in itinere restano validi fino al termine della terza sessione di esame.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Learning assessment may also be carried out on line, should the conditions require it.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Forme differenziali (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding)

Relazione tra derivabilita' e differenziabilita' per una funzione di due variabili (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).

Estremi condizionati di una funzione (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).




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