ANALISI MATEMATICA I

MAT/05 - 9 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

SALVATORE D'ASERO
Email: dasero@dmi.unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica, Edificio 1, Viale A. Doria, 6
Telefono: 0957383044
Orario ricevimento: Lunedì 15.00 -18.00. Eventuali modifiche verranno comunicate su Studium.


Obiettivi formativi

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali. Prove di autovalutazione.

Qualora l’insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus


Prerequisiti richiesti

Capacità di argomentare e comunicare, oralmente e in forma scritta. Sapere individuare, descrivere e operare con gli insiemi. Riconoscere ipotesi e tesi di un teorema. Riconoscere se una condizione è necessaria o sufficiente. Sapere negare una proposizione e comprendere un ragionamento per assurdo. Comprendere la differenza tra esempi e controesempi. Conoscere gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali.

Conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni:

xn, rad[n]{x}, xb, loga(x), ax, sen(x), cos(x), tan(x).

Sapere applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Conoscere le equazioni o disequazioni di semplici luoghi geometrici ( retta, semipiano, circonferenza, cerchio, ellisse, iperbole, parabola). Conoscere le principali formule trigonometriche.



Frequenza lezioni

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso, cfr. Punto 3.4 del Regolamento Didattico del CL in Ingegneria Civile e Ambientale.



Contenuti del corso

1. CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI.

Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni arcsen(x), arccos(x), arctan(x). Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.

2. INSIEMI NUMERICI.

Gli insiemi numerici N, Z, Q. Proprietà dei razionali. L’insieme dei numeri reali. Insiemi separati. L'Assioma di Dedekind. Proprietà di densità nell’insieme dei numeri reali. Estremi di un insieme numerico. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione x^n=a. Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi. Valore assoluto. Equazioni e disequazioni razionali, fratte, irrazionali, con valore assoluto, logaritmiche, esponenziali e trigonometriche. Principio di induzione.

3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE.

Intervalli. Intorni. Punti di accumulazione. Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale.

4. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI.

Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni e sue applicazioni. Numero di Neper. Limite della funzione composta. Limiti dedotti dal numero di Neper. Legame tra limiti di funzioni e di successioni. Limiti notevoli. Successioni estratte. Simbolo di Landau o(1). Asintoti al grafico di una funzione.

5. FUNZIONI CONTINUE.

Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. Continuità delle funzioni monotone. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse.

6. CALCOLO DIFFERENZIALE.

Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata della funzione somma, prodotto, reciproca e quoziente. Derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e sue conseguenze. Concavità, convessità e flessi. I Teoremi di De L’Hospital. Grafici delle funzioni elementari. Studio del grafico di una funzione.

8. INTEGRALE INDEFINITO.

Primitive o antiderivate. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Proprietà di omogeneità e distributiva. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione.


7. INTEGRALE DEFINITO.

Integrale di Riemann. Condizione di integrabilità. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale di Riemann. Teorema della media. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Significato geometrico dell’integrale definito. Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione. Integrali generalizzati e impropri.


8. SERIE NUMERICHE.

Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz. Serie logaritmica.



Testi di riferimento

1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, Mc Graw Hill

2. G. Fiorito, Analisi Matematica 1, Spazio Libri

3. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori

4. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

5. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

6. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc.

7. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori


Altro materiale didattico

Tutte le comunicazioni ufficiali e il materiale didattico del Corso verranno pubblicati alla pagina del Corso presente sul portale Studium.



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte.Testo1: Cap.1 Sez. 1.1; Cap 2 sez. 2.1, 2.4 – 2.6 Testo2: Cap.1 Sez. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7 Testo4: Cap.1 Sez. 3, 4.1, 4,3-4,4 
2Funzioni arcsen(x), arccos(x), arctan(x).Testo1: Cap.1 Sez. 1.1; Cap 2 sez. 2.1, 2.4 – 2.6 Testo2: Cap.1 Sez. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7 Testo4: Cap.1 Sez. 3, 4.1, 4,3-4,4 
3Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati. Testo1: Cap.1 Sez. 1.1; Cap 2 sez. 2.1, 2.4 – 2.6 Testo2: Cap.1 Sez. 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7 Testo4: Cap.1 Sez. 3, 4.1, 4,3-4,4 
4Gli insiemi numerici N, Z, Q. Proprietà dei razionali. L’insieme dei numeri reali. Insiemi separati. L'Assioma di Dedekind. Proprietà di densità nell’insieme dei numeri reali. Testo2: Cap.2  
5Estremi di un insieme numerico. Testo1: Cap.1 Sez. 1.2-1.3, 1.5 Testo3: Cap.1 Sez. 1,2,3, 11; Cap.2 Sez. 13, 14, 18 Testo4: Cap.2 Sez. 1, 2.1-2.2, 2.4, 3.1-3.4 
6Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione x^n=a. Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi. Valore assoluto. Equazioni e disequazioni razionali, fratte, irrazionali, con valoreTesto1: Cap.1 Sez. 1.2-1.3, 1.5 Testo3: Cap.1 Sez. 1,2,3, 11; Cap.2 Sez. 13, 14, 18 Testo4: Cap.2 Sez. 1, 2.1-2.2, 2.4, 3.1-3.4 
7Principio di induzione. Testo1: Cap.1 Sez. 1.2-1.3, 1.5 Testo3: Cap.1 Sez. 1,2,3, 11; Cap.2 Sez. 13, 14, 18 Testo4: Cap.2 Sez. 1, 2.1-2.2, 2.4, 3.1-3.4 
8Intervalli. Intorni. Punti di accumulazione. Teorema di Bolzano.Testo1: Cap.2; Cap.3 Sez. 3.1 
9Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari.Testo1: Cap.2; Cap.3 Sez. 3.1 
10Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Testo1: Cap.3 Sez. 3.2-3.6; Cap.4 Sez. 4.1, 4.2, 4.3; Cap.5 Sez. 5.1 - 5.2, 5.5 Testo2: Cap.4 Sez. 4.1-4.6, 4.8-4.10, 4.13, 4.14 Testo3: Cap.3 Sez. 33 Testo4: Cap.4 Sez. 1-2, 3.1-3.3 
11 Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Infiniti, infinitesimi e confronti. Simboli di Landau.Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone.Testo1: Cap.3 Sez. 3.2-3.7; Cap.4 Sez. 4.1, 4.2, 4.3; Cap.5 Sez. 5.1 - 5.2, 5.5 Testo2: Cap.4 Sez. 4.1-4.6, 4.8-4.10, 4.13, 4.14 Testo3: Cap.3 Sez. 33 Testo4: Cap.4 Sez. 1-2, 3.1-3.3 
12Limiti dedotti dal numero di Neper.Testo1: Cap.3 Sez. 3.2-3.6; Cap.4 Sez. 4.1, 4.2, 4.3; Cap.5 Sez. 5.1 - 5.2, 5.5 Testo2: Cap.4 Sez. 4.1-4.6, 4.8-4.10, 4.13, 4.14 Testo3: Cap.3 Sez. 33 Testo4: Cap.4 Sez. 1-2, 3.1-3.3 
13Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi. Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass.Testo1: Cap.6 Testo2: Cap.5 Sez. 5.1-5.4 Testo3: Cap.4 Sez. 44-49 Testo4: Cap.5 Sez 1.1-1.3, 3.1-3.6 
14Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse. Asintoti al grafico di una funzione. Testo1: Cap.6 Testo2: Cap.5 Sez. 5.1-5.4 Testo3: Cap.4 Sez. 44-49 Testo4: Cap.5 Sez 1.1-1.3, 3.1-3.6 
15Derivata di una funzione. Relazione tra continuità e derivabilità. Derivate successive. Significato geometrico della derivata prima. Derivate delle funzioni elementari. Derivata delle funzioni composte. Testo1: Cap.7 Testo2: Cap.6; Cap.7 Testo3: Cap. 5; Cap.6 Testo4: Cap.6  
16Derivata della funzione somma, prodotto, reciproca e quoziente. Derivazione delle funzioni inverse.Testo1: Cap.7 Testo2: Cap.6; Cap.7 Testo3: Cap. 5; Cap.6 Testo4: Cap.6 
17Estremi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e sue conseguenze. Testo1: Cap.7 Testo2: Cap.6; Cap.7 Testo3: Cap. 5; Cap.6 Testo4: Cap.6 
18Concavità, convessità e flessi. I Teoremi di De L’Hospital.Testo1: Cap.7 Testo2: Cap.6; Cap.7 Testo3: Cap. 5; Cap.6 Testo4: Cap.6 
19Primitive o antiderivate. Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati.Testo1: Cap.8 Sez. 8.5, 8.6 Testo2: Cap.8 Sez. 8.8-8.12 Testo3: Cap.9 Sez. 88-92 Testo4: Cap.8 Sez. 1.7-1.9, Compl. 9-16 
20Proprietà di omogeneità e distributiva. Metodi di integrazione per decomposizione, per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Testo1: Cap.8 Sez. 8.5, 8.6 Testo2: Cap.8 Sez. 8.8-8.12 Testo3: Cap.9 Sez. 88-92 Testo4: Cap.8 Sez. 1.7-1.9, Compl. 9-16 
21Integrale di Riemann. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale di Riemann. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Significato geometrico dell’integrale definito. Integrali generalizzati e impropri.Testo1: Cap.8 Sez. 8.1-8.4, 8.7. Testo2: Cap.8 Sez. 8.1-8.3, 8.5-8.7, 8.13-8.1 Testo3: Cap.8 Sez. 79-84 Testo4: Cap.8 Sez. 1.1-1.6 Cap.8 Sez. 3.1-3.2 
22Regole di integrazione definita per parti e per sostituzione.Testo1: Cap.8 Sez. 8.1-8.4, 8.7. Testo2: Cap.8 Sez. 8.1-8.3, 8.5-8.7, 8.13-8.1 Testo3: Cap.8 Sez. 79-84 Testo4: Cap.8 Sez. 1.1-1.6 Cap.8 Sez. 3.1-3.2 
23Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.Testo1: Cap 4 Sez. 4.7, 4.8, 4.9 Testo2: Cap.9 Sez. 9.1-9.5, 9.7 Testo3: Cap.11 Sez.104-110 Testo4: Cap. 8 Sez. 2.1-2.3 
24Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice.Testo1: Cap 4 Sez. 4.7, 4.8, 4.9 Testo2: Cap.9 Sez. 9.1-9.5, 9.7 Testo3: Cap.11 Sez.104-110 Testo4: Cap. 8 Sez. 2.1-2.3 
25 Serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. Serie a segni alterni. Criterio Di Leibniz. Serie logaritmica.Testo1: Cap 4 Sez. 4.7, 4.8, 4.9 Testo2: Cap.9 Sez. 9.1-9.5, 9.7 Testo3: Cap.11 Sez.104-110 Testo4: Cap. 8 Sez. 2.1-2.3 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L’esame finale consiste in una prova scritta e una prova orale. La prova scritta consiste in un test contenente 3 o 4 esercizi: uno sullo studio di funzione che sarà sempre presente e poi altri due (tre) su calcolo di campi di esistenza di funzioni, calcolo di limiti di funzioni o successioni, calcolo di integralie (in)definito, studio carattere di serie numeriche. Si accede alla prova orale se si svolgono correttamente almeno due esercizi di cui uno deve essere lo studio di funzione.

La prova orale consiste nel verificare la conoscenza e la comprensione dei concetti matematici sviluppati nel corso. L'esame si intende superato se si sostiene un colloquio orale giudicato almeno sufficiente.

La prenotazione per un appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

https://studium.unict.it/dokeos/2021/courses/22927/document/Compiti%20Anno%20in%20corso/Esempio_prova_scritta_2020_2021.pdf?cidReq=22927




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