ANALISI MATEMATICA II

Lo studente acquisirà le principali nozioni del calcolo differenziale e del calcolo integrale per le funzioni reali di più variabili reali nonchè la capacità di applicarle alla risoluzione di problemi derivanti da altre scienze, per esempio la Fisica e l'Economia.

In particolare il corso si prefigge i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente vedrà innanzitutto come concetti e risultati già noti dal corso di Analisi Matematica I possano essere estesi, con opportune modifiche quando necessario, a situazioni più generali e astratte. In questo modo si cercherà di sviluppare la capacità di astrazione del discente. Quindi si cercherà di applicare le definizioni, i risultati e le tecniche presentati a casi particolari, in modo da illustrare come dal caso generale si possa passare al caso particolare, dimostrando che le astrazioni fatte non sono solo un mero esercizio teorico, ma hanno sempre notevoli ricadute pratiche che permettono di risolvere anche problemi apparentemente "lontani e differenti". Si cercherà così di stimolare nel discente lo sviluppo della capacità di astrazione rigorosa e nel contempo di sintesi critica.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà condotto a riflettere sulle nozioni considerate, in modo da riuscire ad isolare gli aspetti peculiari di un problema in vista, anche, dell'applicazione ad altre questioni che presentano analogie con il problema in esame. Si cercherà di abituare il discente a costruire modelli matematici di varie situazioni concrete ed ad applicare le nozioni studiate per un loro studio analitico. Egli potrà, inoltre, esercitare la capacità di utilizzare le proprie conoscenze in situazioni diverse da quelle in cui sono state acquisite: ad esempio, sarà invitato a dimostrare autonomamente dei risultati simili a quelli studiati e a svolgere numerosi esercizi di applicazione dei teoremi studiati.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà studiare degli argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e sarà invitato a ricercare ulteriori applicazioni degli argomenti svolti . Potrà inoltre confrontarsi criticamente con gli altri studenti durante le ore di tutorato per individuare le soluzioni più corrette.

Abilità comunicative (communication skills): attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura del libro di testo e di altri libri eventualmente indicati dal docente, lo studente familiarizzerà con il linguaggio matematico. Mediante le esercitazioni guidate e i seminari, apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le proprie conoscenze. Imparerà, così, che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per poter comunicare scienza.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà guidato a perfezionare il corretto metodo di studio che dovrebbe già aver appreso nei corsi del primo anno. Ciò gli permetterà di accostarsi ad un argomento nuovo riconoscendo subito quali sono i prerequisiti necessari. Continuerà a sviluppare, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.

Lezioni frontali, con partecipazione attiva degli studenti cui saranno posti quesiti miranti a stimolare la capacità di analisi di un determinato problema e di collegamento fra argomenti diversi

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus. In ogni caso, eventuali variazioni saranno rese note attraverso la piattaforma STUDIUM

Superamento dell'esame di Analisi Matematica 1. Conoscenza non superficiale degli argomenti dei corsi di Geometria 1 e Algebra. Anche la conoscenza di nozioni di base della Fisica, come apprese nelle scuole superiori, potrà essere utile alla comprensione di molti dei concetti il cui studio viene affrontato nel corso

Fortemente consigliata. Seguire con attenzione le lezioni facilita sicuramente la comprensione degli argomenti da studiare, perché favorisce l’acquisizione ragionata del metodo di studio, dei concetti base e delle tecniche dimostrative e di svolgimento degli esercizi. Consente di chiarire le proprie idee su un argomento attraverso la formulazione di domande o l’esposizione di dubbi.

Si consiglia, anche, di usufruire ampiamente delle ore settimanali di ricevimento (almeno 4), durante le quali è possibile presentare proprie osservazioni per ottenere dal docente chiarimenti sia sulla teoria spiegata a lezione che sugli esercizi presentati o assegnati o individuati attraverso un uso intelligente di internet.

Si introdurrà il concetto di spazio metrico e si studieranno approfonditamente questi nuovi spazi, in particolare studiando i concetti di limite di successioni in spazi metrici e di funzioni fra spazi metrici, di continuità e di uniforme continuità di funzioni fra spazi metrici, di compattezza e di connessione. Si estenderanno le nozioni di calcolo differenziale ed Integrale (già introdotte nel corso di Analisi Matematica 1) alle funzioni di più variabili, fino ad arrivare allo studio delle equazioni differenziali ordinarie, all'introduzione dei concetti base della geometria differenziale delle curve e superfici ed ai principali risultati del calcolo vettoriale, interessanti di per sè ed estremamente utili nelle applicazioni ad altre scienze.

Di seguito un elenco più dettagliato degli argomenti del corso

1. SPAZI METRICI.CALCOLO DIFFERENZIALE IN R^n. Spazi metrici. Intorni di punti. Insiemi aperti, chiusi ed altre nozioni topologiche. Compattezza e connessione in spazi metrici. Funzioni continue fra spazi metrici. Teoremi di Weierstrass, di Cantor-Heine, di Esistenza degli zeri e dei Valori Intermedi. Spazi euclidei. Applicazione delle precedenti nozioni e dei precedenti risultati al caso di spazi euclidei. Derivate direzionali e parziali per funzioni scalari e loro significato geometrico. Gradiente e suo significato. Funzioni dfferenziabili secondo Gateaux e secondo Frechet e significato geometrico. Teorema del differenziale totale. Derivate e differenziale primo per funzioni vettoriali. Derivabilità della funzione composta. Derivate e differenziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor al primo e al secondo ordine. Teorema del gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. Identità di Eulero. Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili. Teorema di Fermat. Richiami sulle forme quadratiche. Caratterizzazione del segno di una forma quadratica. Condizione necessaria del secondo ordine. Condizione sufficiente del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti. Funzioni definite implicitamente. Teorema di Esistenza e Teorema di Derivabilità della funzione implicita sia nel caso scalare che vettoriale. Estremi vincolati e Teorema del Moltiplicatore di Lagrange. Condizione sufficiente per la ricerca degli estremi vincolati.

2. MISURA E INTEGRAZIONE. Teoria della misura secondo Lebesgue in R^n: Misura elementare degli intervalli e dei plurintervalli. Misura degli aperti limitati e dei chiusi limitati. Nozione di misurabilità per insiemi limitati e non limitati. Proprietà della misura: numerabile additività, monotonia, continuità verso l'alto, verso il basso, sottrattività ed altre proprietà. Completezza della misura. Funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili.Teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in R^n Proprietà dell'integrale di Lebesgue e confronto con l'integrale di Riemann.Significato geometrico dell'integrale. Criteri di sommabilità. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teoremi di B.Levi e di Lebesgue. Integrazione per serie. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali. Coordinate polari nel piano. Coordinate sferiche e cilindriche nello spazio.

3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n. Sistemi di n equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in n funzioni incognite. Equivalenza tra equazioni e sistemi. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e in grande per il problema di Cauchy. Condizione sufficiente per la lipschitzianità. Sistemi lineari. Globalità della soluzione di un sistema di equazioni lineari. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Matrice wronskiana. Metodo di Lagrange. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti: costruzione di una base dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari a coefficienti costanti. Insieme delle soluzioni di un sistema, anche non omogeneo, di equazioni lineari a coefficienti costanti. Matrice esponenziale. Teorema di Putzer. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali linesari. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali non lineari: equazioni a variabili separabili, equazioni omogene, equazioni di Bernoulli, equazioni di Eulero.

4. CURVE E SUPERFICI. Curve in R^n. Curve semplici, chiuse, piane, di Jordan. Curva unione. Curve regolari e generalmente regolari (regolari a tratti). Retta tangente e significato geometrico della differenziabilità secondo Frechet (esistenza dell'iperpiano tangente al grafico). Cambi di parametrizzazione. Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve regolari. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei. Forma differenziale lineare. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Primo criterio di integrabilità. Circuitazione di una forma differenziale. Forme differenziali chiuse. Insiemi aperti stellati. Teorema di Poincarè. Insiemi semplicemente connessi. Criterio di integrabilità in insiemi semplicemente connessi. Domini a connessione multipla e domini regolari. Formule di Gauss Green. Equazioni differenziali esatte. Superfici regolari e regolari a pezzi. Superfici orientabili. Integrali di superficie. Teoremi principali del calcolo vettoriale.

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Parte Prima, Pitagora Editrice Bologna 2018

G. Emmanuele, Analisi Matematica 2, Foxwell and Davies Italia 2004 (chiedere al docente per la reperibilità del testo)

E' anche possibile consultare il sito internet del docente per un elenco esteso di testi di esercitazioni e compiti di anni accademici precedenti

Eventuale ulteriore materiale didattico sarà inserito su Studium nella pagina del corso. E' anche possibile consultare il sito internet del docente per un elenco esteso di testi di esercitazioni e compiti di anni accademici precedenti

L'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi (da un minimo di 4 ad un massimo di 6) che possono essere sia di natura tecnica che teorica. La durata della prova scritta è di 2 o 3 ore, a seconda del numero degli esercizi. La prova orale, cui si accede dopo il superamento della prova scritta, tende a verificare il grado di conoscenza e di comprensione raggiunto, anche attraverso la capacità di collegare argomenti apparentemente lontani l'uno dall'altro. Sono previste anche due prove in itinere su parti del programma (ognuna di 7-8 cfu), che si svolgeranno con le stesse modalità dell'esame finale.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere, cercando comunque di attenersi il più possibile alle linea guida sopra indicate. In ogni caso, eventuali variazioni saranno rese note attraverso la piattaforma STUDIUM

Si veda su Studium, alla pagina del corso, l'elenco delle prove scritte assegnate in precedenza. E' anche possibile consultare il sito del docente all'indirizzo http://www.dmi.unict.it/~emmanuele/ per trovare altri compiti di anni accademici precedenti assegnati dal docente sia nel corso di laurea in Matematica che in altri corsi di laurea (in particolare, si consiglia di svolgere i compiti assegnati nel corso di laurea in Fisica).