1001211 - ANALISI MATEMATICA III A - Z

Gli obiettivi formativi del corso riguardano la conoscenza della teoria delle funzioni di una variabile complessa e delle trasformate integrali. Lo studente dovrà inoltre sviluppare la capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzioni di problemi ed esercizi non banali.

Il corso di Analisi Matematica III ha la finalità di fornire la conoscenza della teoria delle funzioni di una variabile complessa e delle trasformate integrali. Lo studente dovrà inoltre sviluppare la capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzioni di problemi ed esercizi non banali.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

1. Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente
   apprenderà alcuni  concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di
   manipolazione di oggetti dell'Analisi Complessa: fra questi, la teoria delle funzioni di una variabile complessa e delle trasformate integrali. 
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and
   understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi
   di matematica superiore ai problemi tipici dell'Ingegneria Elettronica.
3. Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire
   autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà
   fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in
   modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
4. Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri
   consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.
   Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e
   chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà
   imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
5. Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di
   perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni
   guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti
   necessari per la loro comprensione.

L'insegnamento viene svolto mediante lezioni di teoria ed esercitazioni, alla lavagna. Occasionalmente potranno essere usati ausili multimediali. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Il ricevimento studenti potrà anche essere svolto, previo appuntamento, in modalità telematica

Integrale di Lebesgue, Forme differenziali lineari, Serie di Fourier, Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.

La frequenza non è
richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di
esame

1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA. Il campo dei numeri complessi. Funzioni di variabile complessa. Il logaritmo di un numero complesso. Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy Riemann. Integrale curvilineo di una funzione complessa. Teorema di Darboux. Teorema di Cauchy-Goursat. Formule integrali di Cauchy. Primitiva di una funzione complessa. Teorema di Morera. Serie di potenze. Analiticitµa delle funzioni olomorfe. Teorema di Hermite-Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Serie di Laurent. Teorema di Laurent. Singolarità isolate di una unzione olomorfa.Teorema di Picard. Il punto all'infinito. Zeri di una funzione olomorfa. Principio di identità delle funzioni olomorfe. Residuo. Teorema dei residui. Applicazione al calcolo degli integrali.

2. TRASFORMATA DI FOURIER DI FUNZIONI SOMMABILI. Cenni sulle funzioni a variazione limitata e assolutamente continue. La trasformata di Fourier. Continuità della trasformata di Fourier. Teorema di Riemann-Lebesgue. Linearità della trasformata di Fourier. Traslata e cambio di scala di una trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier di funzioni dispari e pari. Trasformata di Fourier della coniugata. Derivata della Trasformata di Fourier. Trasformata della derivata. Convoluzione di funzioni sommabili. Trasformata di Fourier della convoluzione. Formula di moltiplicazione. Trasformata aggiunta. Inversione della trasformata di Fourier. Eguaglianza di Parseval.

3. TRASFORMATA DI LAPLACE DELLE FUNZIONI LOCALMENTE SOMMABILI. Trasformabilità e assoluta trasformabilitµa. Ascissa di convergenza e di assoluta convergenza. Trasformata di Laplace.Linearità della Trasformata di Laplace. Traslata e cambio di scala di una trasformata di Laplace. Uniforme convergenza. Condizioni necessarie di antitrasformabilità. Olomorfia della trasformata. Prima formula fondamentale. Trasformabilità delle funzioni periodiche. Convoluzione di funzioni localmente sommabili. Trasformata di Laplace della convoluzione. Trasformata della funzione integrale. Seconda formula fondamentale. Inversione della trasformata di Laplace. Antitrasformazione delle funzioni razionali. Antitrasformaione per serie. Applicazione alle equazioni differenziali ed ai sistemi di equazioni differerenziali.

4. TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI. Funzioni test e distribuzioni. Distribuzioni funzione. Delta di Dirac. Limiti e serie nel senso delle distribuzioni.Derivazione nel senso delle distribuzioni.Traslata di una distribuzione. Distribuzione periodica. Funzioni a decrescenza rapida. Distribuzioni temperate. Funzioni sommabili. Funzioni a crescenza lenta. La Trasformata di Fourier di funzioni a decrescenza rapida. La Trasformata di Fourier nell'ambito delle distribuzioni temperate. Supporto di una distribuzione. Gli spazi D e S. La Trasformata di Laplace nell'ambito delle distribuzioni.

5. TRASFORMATA ZETA. Definizioone e proprietà. Applicazione alla risoluzione delle equazioni alle differenze e alle successioni definite per ricorrenza.

1. Di Fazio G., Frasca M. Metodi Matematici per l’Ingegneria,, Monduzzi Editoriale.

La prova d'esame è composta da una prova scritta della durata di due ore e una successiva prova orale. La prova scritta consta di quattro esercizi.  Per essere superata occorre fare almeno due esercizi in modo corretto. La prova orale consta di tre domande.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento.

Teorema dei residui, punti singolari, analiticità delle funzioni olomorfe, trasformata di Fourier, Trasformata din Laplace, distribuzioni funzione.

Calcolo di integrali mediante teorema dei residui, sviluppi di Laurent, sistemi di equazioni differenziali, limiti nel senso delle distribuzioni.

Esempi di esercizi potranno essere reperiti su Studium.