72464 - MATEMATICA I
Risultati di apprendimento attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente apprenderà alcuni concetti basilari matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti della Matematica: fra questi, le successioni, le serie numeriche, i limiti e le derivate per le funzioni di una variabile.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza della Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.
Autonomia di giudizio: lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi della Matematica per affinare le capacità logiche.
Abilità comunicative: studiando l'Analisi Matematica e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate e i seminari, lo studente apprenderà come comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.
Capacità di apprendimento: gli studenti saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti mediante stimolanti quesiti durante le ore di esercitazione.
Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento o al Presidente del Corso di Studi.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L'insegnamento si svolge mediante lezioni frontali
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento o al Presidente del Corso di Studi.
Prerequisiti richiesti
Lo studente deve conoscere a fondo le nozioni di Matematica studiate nei 5 anni della scuola media superiore.
In particolare: Elementi di Logica Matematica, teoria degli insiemi, equazioni e disequazioni algebriche, trigonometria.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata
Contenuti del corso
Struttura del corso:
9 CFU - 87 ore totali
42 di lezione frontale
45 di esercitazione
1. Insiemi e Logica. Concetti di base sugli insiemi, logica elementare.
2. Nozioni di Aritmetica e Algebra. Notazione scientifica dei numeri reali. Arrotondamento per cifre decimali e cifre significative. Frazioni, potenze, logaritmi, valore assoluto e proprietà. Semplificazioni di espressioni algebriche. Fattorizzazione di polinomi. Equazioni e disequazioni di primo, secondo e terzo grado.
3. Introduzione alla Teoria degli insiemi. Definizione di insieme. Insieme vuoto. Sottoinsieme. Unione, intersezione e differenza tra insiemi. Proprietà distributive. Insiemi numerici. Numeri naturali, relativi, razionali, reali. Insieme limitato inferiormente e superiormente. Minimo, massimo, minorante e maggiorante. Estremo inferiore e superiore.
4. Successioni. Definizione di successione numerica. Successioni aritmetica, geometrica, armonica. Successioni convergenti, divergenti positivamente e negativamente, oscillanti. Successioni limitate. Successioni monotone. Limiti di successioni. Dimostrazione di convergenza e divergenza di successioni elementari tramite la definizione. Limitatezza delle successioni convergenti e controesempio. Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Teorema del confronto.
5. Funzioni reali di una variabile reale. Definizione di funzione e di grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotone. Funzioni limitate. Punti di minimo e di massimo assoluto. Punti di minimo e di massimo relativo. Funzioni composte. Esempi di funzioni: funzioni lineari, funzione identità, funzioni esponenziali, funzioni logaritmiche, funzione modulo o valore assoluto. Funzioni inverse. Operazioni tra funzioni.
6. Funzioni trigonometriche e vettori euclidei. Angoli: radianti e gradi. Definizione di seno, coseno, tangente. Proprietà delle funzioni trigonometriche. Equazioni trigonometriche. Funzioni inverse: arcoseno, arcocoseno, arcotangente. Identità trigonometriche. Funzioni trigonometriche e triangoli. Operazioni con i vettori.
7. Funzioni continue. Varie definizioni di limite di funzione. Teoremi vari sui limiti di funzioni. Continuità di una funzione in un punto. Continuità di una funzione in un insieme. Operazioni tra funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Punti di discontinuità. Asintoti per il grafico di una funzione: orizzontali, verticali e obliqui.
8. Calcolo differenziale. Definizione di derivata prima di una funzione in un punto e relativa interpretazione geometrica. Relazione tra continuità e derivabilità e relativi controesempi. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni inverse. Teoremi del calcolo differenziale: teorema di Fermat e relativo controesempio, teorema di Rolle, Teorema di Lagrange, Teorema di Cauchy. Teorema di De L’Hôpital e relativi esempi e controesempi. Funzioni crescenti e decrescenti: condizioni necessarie, condizioni sufficienti. Determinazione di minimi e massimi relative e assoluti. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor. Concavità, convessità e flessi. Studio di funzione.
9. Matrici e Sistemi lineari. Definizione di matrice. Operazioni con le matrici e proprietà. Matrice identità. Matrice trasposta. Matrice inversa. Determinante. Sistemi lineari di equazioni. Autovalori e autovettori.
10. Cenni di Combinatoria, probabilità e statistica. Calcolo combinatorio. Fenomeni casuali. Calcolo delle probabilità, Medie di posizione. Organizzazione di dati statistici.
Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile
Goal N. 4: ISTRUZIONE DI QUALITÁ
Assicurare un’istruzione di qualità, equa ed inclusiva, e promuovere opportunità di apprendimento permanente per tutti
Goal N. 5: PARITÁ DI GENERE
Raggiungere l'uguaglianza di genere e l'empowerment (maggiore forza, autostima e consapevolezza) di tutte le donne e le ragazze
Goal N. 8: LAVORO DIGNITOSO E CRESCITA ECONOMICA
Incentivare una crescita economica duratura, inclusiva e sostenibile, un'occupazione piena e produttiva ed un lavoro dignitoso per tutti
Modalità: lezione frontale.
Testi di riferimento
[1] D. Benedetto, M. Degli Esposti, C. Maffei, Matematica per le Scienze della Vita, Casa Editrice Ambrosiana
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | Argomento 1 | [1] |
| 2 | Argomento 2 | [1] |
| 3 | Argomento 3 | [1] |
| 4 | Argomento 4 | [1] |
| 5 | Argomento 5 | [1] |
| 6 | Argomento 6 | [1] |
| 7 | Argomento 7 | [1] |
| 8 | Argomento 8 | [1] |
| 9 | Argomento 9 | [1] |
| 10 | Argomento 10 | [1] |
| 11 | Argomento 11 | [1] |
| 12 | Argomento 12 | [1] |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
1. Viene somministrata una sola prova in itinere scritta (denominata prova o parte A) composta da quesiti teorici e pratici concernenti la parte di programma trattata fino ad una data concordata
2. L'esame finale consiste in un elaborato scritto suddiviso in due parti: parte A (con gli argomenti trattati fino alla prova in itinere) e parte B contenente quesiti pratici e teorici concernenti la parte del programma trattato successivamente alla prova A
3. Il superamento della prova in itinere A permette allo studente di essere esonerato dallo svolgere i quesiti della parte A contenuti nell’esame finale (aumentando, quindi, il tempo a propria disposizione negli appelli del corrente Anno Accademico)
4. Possono accedere all'esame finale anche coloro che non hanno superato la prova in itinere A, ma in questo caso dovranno svolgere sia i quesiti della parte A sia i quesiti della parte B dell'esame finale.
5. Il beneficio del superamento della prova in itinere A resta valido fino al termine della terza sessione di esami del corrente Anno Accademico.
Di norma i voti verranno assegnati secondo il seguente schema
- non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
- 18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi
- 24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori
- 28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.
La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.
Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento o al Presidente del Corso di Studi.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Definizioni di: estremo superiore, successione convergente, funzione biunivoca, funzione inversa, discontinuità di prima specie, derivata, matrice inversa, ellisse.
Controesempi: successione limitata e non convergente, funzione che ammette estremo superiore finito ma non il massimo.
Dimostrazioni: limitatezza di successioni convergenti, teorema dei valori intermedi, teorema della derivata di un prodotto.
Funzioni continue (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding)
Serie numeriche (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).
Limiti notevoli dedotti dal numero di Nepero (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).
English version