1016254 - ALGEBRA SUPERIORE

Fornire allo studente un primo approccio alla teoria algebrica dei numeri, utilizzando gli strumenti acquisiti nel corso di Algebra Commutativa e sviluppandone di ulteriori. Il corso si prefigge anche lo scopo affinare la capacità di astrazione, mostrando come un approccio teorico possa portare a risultati numerici interessanti.

In particolare, il corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e di metodi fondamentali della teoria degli anelli, dei campi e delle loro applicazioni in teoria dei numeri. Capacità di leggere, comprendere e approfondire un argomento della letteratura matematica e riproporlo in modo chiaro ed accurato. Capacità di comprendere i problemi e di estrarne gli elementi sostanziali.

Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di costruire o risolvere esempi od esercizi e di affrontare problemi teorici nuovi, ricercando le tecniche più adatte e applicandole opportunamente.

Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di produrre proposte atte a interpretare correttamente problematiche complesse nell'ambito dell’algebra, della teoria dei numeri e delle loro applicazioni. Essere in grado di formulare autonomamente giudizi pertinenti sull'applicabilità di modelli algebrici a situazioni teoriche e/o concrete.

Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare argomenti, problemi, idee e soluzioni, sia proprie che altrui, in termini matematici e le loro conclusioni, con chiarezza e accuratezza e con modalità adeguate agli ascoltatori a cui ci si rivolge, sia in forma orale che in forma scritta. Capacità di motivare chiaramente la scelta delle strategie, metodi e contenuti, nonché degli strumenti computazionali adottati.

Capacità  di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento della letteratura algebrica. Affrontare in modo autonomo lo studio sistematico di argomenti algebrici non precedentemente approfonditi.

Il corso consiste di lezioni frontali, esercitazioni frontali (alla lavagna) ed esercitazioni di classe. Normalmente gli esercizi svolti dal docente si alternano allla parte teorica, anche nella stessa giornata. Per le esercitazioni di classe, il docente propone alcuni esercizi agli studenti che sono invitati a risolverli lavorando in piccoli gruppi; il docente passa tra i banchi aiutando e suggerendo il modo di affrontare gli esercizi. Tali esercitazioni sono fondamentali per acquisire capacità di lavoro autonomo e in gruppo. 

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus

Richiami sulle estensioni integrali

Norme, tracce e discriminanti

Estensioni quadratiche e ciclotomiche

Domini di Dedekind

Fattorizzazione di ideali primi nelle estensioni

Il gruppo delle classi

Il teorema degli elementi invertibili di Dirichlet

Se ci sarà tempo potrebbero essere aggiunti ulteriori argomenti come, ad esempio, la fattorizzazione degli ideali primi nelle estensioni di Galois. 

1. Dispense fornite dal docente.

2. Marcus D.A, Number Fields, Springer 1977

3. Stewart I and Tall D, Algebraic number theory, Chapman and Hall 1987 

Nel corso del semestre saranno assegnati esercizi e si svolgeranno esercitazioni in classe, durante le quali gli studenti saranno inivitati a cimentarsi, da soli o in collaborazione, con problemi proposti dal docente. La correzione degli esercizi assegnati per casa e le esercitazioni in classe permetteranno al docente di verificare il livello di comprensione della materia.

Al termine del corso è prevista una prova scritta ed una orale che terrà conto degli esercizi svolti durante l'anno e della prova scritta. Durante tale prova sarà richiesto allo studente, di risolvere degli esercizi inerenti al programma svolto e di illustrare qualche argomento di teoria. 

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.