9796788 - ANALISI MATEMATICA I A - Z
Modulo MODULO B

Il corso di Analisi Matematica I - Modulo B ha la finalità di fornire le conoscenze di base sul Calcolo Integrale per funzioni reali di una variabile reale, sulle serie numeriche a termini reali e su alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie.

In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale, le serie numeriche e alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Si precisa altresì che, relativamente al Modulo B dell’insegnamento, sono previste 28 ore di teoria e 30 ore di altre attività (tipicamente, si tratta di esercitazioni).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria e conoscenza dei contenuti trattati nel Modulo A.

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

1. Calcolo Integrale
• Integrali indefiniti. Primitive di una funzione su un intervallo e integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: proprietà di linearità, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Tecniche varie di integrazione indefinita.
• Integrali definiti. Integrale di Riemann: somme inferiori e somme superiori, definizione di funzione integrabile secondo Riemann, condizione di integrabilità secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann. Proprietà dell'integrale secondo Riemann. Integrale esteso ad un intervallo orientato. Definizione di media integrale e sua interpretazione geometrica. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale.
• Integrali impropri. Integrali impropri su un intervallo illimitato. Integrali impropri su un intervallo limitato. Criteri di convergenza: algebra degli integrali impropri, integrabilità delle funzioni non negative, criterio del confronto, criterio della convergenza assoluta, criterio del confronto asintotico.
2. Equazioni differenziali ordinarie.
• Definizioni di base. 
• Metodi risolutivi di alcuni tipi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti.
3. Serie numeriche.
• Definizioni di base. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche, serie logaritmica e serie esponenziale. Criteri di convergenza per tutte le serie numeriche: aggiunta, eliminazione e modifica di un numero finito di termini di una serie numerica, algebra delle serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica.
• Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice. Un criterio di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del rapporto. Criterio di condensazione di Cauchy e sue applicazioni. Criterio di Maclaurin e sue applicazioni.
• Criteri di convergenza per serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz e suoi corollari.
• Criterio della convergenza assoluta.
• Criteri di Abel-Dirichlet.

Prove di autovalutazione

Durante i periodi di Attività Formativa verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno lo scopo di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità.

• Modalità 1: prove intermedie sia scritte che orali (vedasi Modulo A)
• Modalità 2: una prova scritta e una prova orale

Modalità 1:

Al termine delle lezioni previste dal Modulo B verrà somministrata agli studenti una seconda prova intermedia. È possibile sostenere la seconda prova intermedia scritta soltanto se è stata precedentemente superata la prima (vedasi Modalità 1 - Modulo A) e sono previste tre date utili. 

Date della prova intermedia relativa al Modulo B.

Le date delle prove intermedie scritte sono reperibili nel sito web del corso di laurea. Lo studente potrà sostenere tale prova in occasione di uno degli appelli della Seconda Sessione d’Esami o del primo appello della Terza Sessione d’Esami.

Struttura della prova intermedia scritta relativa al Modulo B.

Nella seconda prova intermedia scritta verranno proposti quattro esercizi e la durata della prova intermedia scritta è di 120 minuti. 

Valutazione delle prove intermedie.

Il massimo voto ottenibile nella prova intermedia scritta è pari a 30/30. La prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio. Nel caso in cui il punteggio totalizzato fosse maggiore o uguale a 15 e inferiore a 18, la Commissione d’Esame potrà ammettere lo studente alla prova orale con riserva qualora lo studente dimostri comunque di possedere adeguate capacità di argomentazione.

Prova orale.

Gli studenti che hanno superato la prova scritta e la prova orale relativa al modulo A, dopo aver superato la prova scritta relativa al modulo B, dovranno sostenere un colloquio orale sugli argomenti del modulo B entro la fine del mese di settembre.

Gli studenti che hanno superato la prova scritta ma non la prova orale relativa al modulo A, dopo aver superato la prova scritta relativa al modulo B, dovranno sostenere una prova orale su tutti gli argomenti del programma (si vedano le sezioni “Contenuti del corso” relative al Modulo A e al Modulo B) entro la fine del mese di ettembre.

Lo studente che non avesse completato le suddette prove come sopra previsto, dovrà sostenere l’esame ex novo secondo la Modalità 2.

Modalità 2: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, se superata, lo studente dovrà sostenere la prova orale sull’intero programma. Il calendario delle prove orali verrà predisposto dalla Commissione d’Esame. La prova scritta dura 120 minuti.

Date degli Appelli.

Le date degli Appelli sono reperibili nel sito web del corso di laurea. 

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti quattro esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30.  Ad ogni esercizio verrà attribuito un punteggio.  A ciascun esercizio verrà attribuito il punteggio massimo previsto se e solo se lo svolgimento è corretto. In caso contrario, si attribuirà un punteggio parziale che verrà determinato in base agli errori commessi.

Prova orale.

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Qualora lo studente non superasse la prova, sarà necessario sostenere l’esame ex novo, sostenendo nuovamente la prova scritta.

Nota. Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.

La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense di teoria e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.

Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina nonché la presentazione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

La prova orale e i quesiti di teoria previsti nella prova intermedia scritta relativa al Modulo B dell’insegnamento di Analisi Matematica I vertono su tutti i contenuti di teoria esposti nel Syllabus (si veda la sezione di “Contenuti del corso”).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo B dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Calcolo di integrali indefiniti e definiti.
• Determinazione della primitiva di una funzione verificante una condizione.
• Studio della convergenza di integrali impropri e calcolo di integrali impropri.
• Studio di funzioni integrali.
• Determinazione dell'integrale generale di una equazione differenziale ordinaria (a variabili separabili, lineare del primo ordine, del secondo ordine, di ordine n o equazioni ad esse riconducibili).
• Determinazione dell'integrale di una equazione differenziale ordinaria (a variabili separabili, lineare del primo ordine, del secondo ordine, di ordine n o equazioni ad esse riconducibili) verificante opportune condizioni.
• Studio del carattere di serie numeriche.