MATEMATICA E INFORMATICAMatematicaAnno accademico 2024/2025

9795535 - TOPOLOGIA ALGEBRICA

Docente: Angelo BELLA

Risultati di apprendimento attesi

Il corso intende approfondire alcuni aspetti della Topologia Algebrica. Gli oggetti principali dello studio saranno lo studio del gruppo fondamentale ed alcuni risultati notevoli di teoria dell'omotopia.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Prerequisiti richiesti

Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.

Frequenza lezioni

Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

Le basi della topologia algebrica. Teoria della omotopia. 

Parte I: omotopia di funzioni e di cammini. Definizione del gruppo fondamentale. Omomorfismo indotto da una funzione continua e sue proprieta' omotopiche. Spazi contraibili e deformazioni. Il gruppo fondamentale della sfera. Spazi proiettivi reali e complessi. Semplice connessione dello spazio proiettivo complesso. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Calcolo del gruppo fondamentale del piano proiettivo reale. I teoremi di Brouwer e Borsuk-Ulam in dimensione 1 e 2. Il teorema della curva di Jordan.

Parte II: Simplessi euclidei e simplessi sferici. Triangolazioni della sfera e mappa propria dei vertici. Definizione del grado di una funzione continua tra sfere omodimensionali. Invarianza per omotopia del grado di una funzione continua. Il teorema del punto fisso di Brouwer e le sue forme equivalenti. Funzioni continue tra sfere di dimensioni diverse e applicazioni. Estensione di funzioni a valori in una sfera. Il teorema di Borsuk. Invarianti posizionali. Il teorema di separazione di Borsuk. Il teorema sull'invarianza del dominio. Verso la forma completa del  teorema di separazione di Jordan. I teoremi di Eilemberg e Janaszewski. Il teorema della curva di Jordan (seconda dimostrazione).

Testi di riferimento

1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.

3. Dugundji "Topology"

Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Omotopia di funzioni e spazi. Spazi contraibili. Esempi.
2Omotopiae prolungamenti di funzioni. Retratti e deformazioni. Proprieta' dell'omotopia tra cammini.
3Definizione del gruppo fondamentale. Prime proprietà del gruppo fondamentale. Isomorfismo indotto da un cammino. Il teorema di Lebesgue.
4Un criterio di sempliceconnessione. Il gruppo fondamentale della sfera. Spazi proiettivi reali e complessi. Semplice connessione dello spazio proiettivo complesso.
5Teoremi di sollevamento per cammini e omotopia.Monodromia.  Calcolo del gruppo fondamentale della circonferenza e sue applicazioni. Il teorema del punto fisso di Brouwer indimensione 1 e 2.
6Calcolo del gruppo fondamentale del pianoproiettivo reale. il teorema di Borsuk-Ulam in dimensione 1 e 2.Sollevamento di una funzione su una sfera e seconda dimostrazionedel teorema di Borsuk-Ulam.
7La curva di Peano. Il teorema della curva di Jordan. Simplessi lineari e sferici. Triangolazione diuna sfera n-dimensionale. La mappa propria dei vertici.
8Primo passo verso la definizione del grado di una funzione continua tra sfere equidimensionali. Invarianza per omotopia del grado di una funzione. Il teorema di Brouwer.
9Teorema del punto fisso indimensione qualunque. Funzioni tra sfere di dimensioni diverse eapplicazioni. Estensione di funzioni a valori in sfere.
10Il teorema del prolungamento di Borsuk. invarianti posizionali. Il teorema di separazione di Borsuk. Invarianza del dominio.
11Verso la forma generale del teorema di separazione di Jordan. I teoremi di Eilemberg e Janiszewski.
12Seconda dimostrazione del teorema della curva di Jordan.   

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Definizione del gruppo fondamentale.

Isomorfismo indotto da un cammino.

Il teorema del punto fisso.


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