9796788 - ANALISI MATEMATICA I A - Z
Modulo MODULO A

Il corso di Analisi Matematica I - Modulo A ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi e sul Calcolo Differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

• Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding): Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti e le derivate per le funzioni reali di una variabile reale.
• Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying knowledge and understanding): Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.
• Autonomia di giudizio (Making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
• Abilità comunicative (Communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
• Capacità di apprendimento (Learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

1. Insiemi numerici. 
• Numeri naturali, numeri interi, numeri razionali, numeri reali. Generalità sull'insieme N dei numeri naturali, sull'insieme Z dei numeri interi e sull'insieme Q dei numeri razionali. L'insieme R dei numeri reali. Alcune conseguenze degli assiomi sui numeri reali. Intervalli. Valore assoluto di un numero reale. Estremi di un insieme numerico. L'insieme N. Proprietà di Archimede. Densità di Q e di R-Q in R. Potenze con esponente reale.
• Numeri complessi. Definizioni di base. Ordinamento totale. Coordinate polari nel piano. Forma trigonometrica di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma trigonometrica. Forma esponenziale di un numero complesso. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso. Equazioni algebriche.
• Applicazioni con MATLAB. Numeri floating-point, aritmetica esatta e aritmetica floating-point, numeri complessi.
2. Funzioni e limiti. 
• Funzioni. Definizioni di base sulle funzioni. Funzione composta. Funzione inversa. Funzioni reali di una variabile reale: funzioni monotone, funzioni affini e funzioni lineari, funzioni pari e funzioni dispari, funzioni dispari, funzioni limitate e funzioni illimitate, punti di minimo e di massimo globale. Operazioni con le funzioni.
  
• Limiti. Topologia di R. Punti di minimo e di massimo locale. Limiti. Teoremi sui limiti. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teoremi del confronto. Limiti laterali e teorema sul limite delle funzioni monotone. Teorema sul limite della funzione composta. Successioni numeriche: definizioni di base, limiti, caratterizzazione sequenziale del limite di funzione, successioni estratte.
  
• Applicazioni con MATLAB. Definizione di funzioni, anonymous function, function handle, user-defined function, rappresentazione grafica di funzioni.
3. Funzioni continue e confronto locale.
   
• Funzioni continue. Definizione di funzione continua e risultati di base. Continuità delle funzioni elementari e operazioni tra funzioni continue. Punti di singolarità: singolarità eliminabile, singolarità di prima e di seconda specie. Proprietà delle funzioni continue: proprietà locali e proprietà globali. Teorema di esistenza degli zeri e sua generalizzazione, Teorema dei valori intermedi, Teorema di Weierstrass. Iniettività e stretta monotonia per funzioni continue. Teorema di continuità della funzione inversa. Numero di Nepero. Limiti notevoli.
• Confronto locale tra funzioni. Simboli di Bachmann-Landau, confronto tra infinitesimi e infiniti. Asintoti. Funzioni uniformemente continue.
• Applicazioni con MATLAB. Equazioni non lineari: piano di investimento, equazione di stato di un gas, dinamica delle popolazioni, metodo di bisezione, metodo di Newton, iterazioni di punto fisso.
4. Calcolo differenziale.
• Definizione di funzione derivabile e di derivata. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di derivata prima. Legame tra continuità e derivabilità. Prima formula dell'incremento finito. Derivate delle funzioni elementari. Derivate laterali. Punti di non derivabilità. Definizione di differenziale. Algebra delle derivate. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. 
• Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale e loro conseguenze. Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange e sue conseguenze (seconda formula dell'incremento finito, Teorema di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla su un intervallo, Test di monotonia e ricerca degli estremi locali, Test per la ricerca dei punti di minimo e di massimo, Teorema di caratterizzazione delle funzioni strettamente monotone). Teorema di De L'Hôpital. Teorema sul limite della derivata. Limite della derivata e punti di non derivabilità. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano e formula di Taylor con resto di Lagrange. Funzioni concave e funzioni convesse: funzioni concave e funzioni convesse con l'ipotesi di derivabilità, punti di flesso, Teorema di caratterizzazione della concavità e della convessità tramite la monotonia della derivata prima, Condizione necessaria per i punti di flesso, Legame tra la concavità-convessità e il segno della derivata seconda, definizione generale di funzione convessa e di funzione concava, test per la ricerca dei punti di flesso. Criteri delle derivate successive per il riconoscimento dei punti stazionari. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
  
• Applicazioni con MATLAB. Approssimazioni di funzioni e di dati: climatologia, finanza, biomeccanica, robotica. Approssimazione con i polinomi di Taylor. Interpolazione polinomiale. Differenziazione numerica: problema ed esempi (idraulica, riconoscimento dei contorni, ottica, elettromagnetismo, demografia). Approssimazione delle derivate. Ricerca dei punti di minimo di una funzione reale di una variabile reale tramite il metodo della sezione aurea e dell'interpolazione quadratica.

Testi consigliati per i Prerequisiti

[P1] G. Anichini, A. Carbone, P. Chiarelli, G. Conti, Precorso di Matematica, Seconda edizione, Pearson (2018).

[P2] S. Barbero, S. Mosconi, A. Portaluri, Precorso di Matematica, Pearson (2022).

Testi consigliati per il corso di Analisi Matematica I

• Testi consigliati per la Teoria:

[T1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[T2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[T3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale (2013).

• Testi consigliati per gli Esercizi:

[E1] C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica 1, Pearson (2021).

[E2] M. Bertsch, A. Dall'Aglio, L. Giacomelli, Epsilon 1. Primo corso di Analisi Matematica, McGraw-Hill (2021).

[E3] G. Di Fazio, P. Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica Uno, EdiSES (2013).

[E4] C. D'Apice, R. Manzo, Verso l'esame di Matematica 1, Maggioli Editore (2015).

Prove di autovalutazione

Durante il periodo di erogazione delle lezioni verranno somministrate alcune prove di autovalutazione. Tali prove di autovalutazione hanno il compito di guidare lo studente nell’apprendimento graduale dei contenuti esposti durante le lezioni. Inoltre, le prove di autovalutazione consentono al Docente di implementare rapidamente eventuali attività integrative mirate a supporto degli studenti in vista degli esami.

Struttura dell'esame

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante tre modalità.

Modalità A: prove intermedie e prove orali

Sono previste due prove intermedie: la prima al termine del primo periodo didattico e la seconda al termine del secondo periodo didattico. La prima prova intermedia verte sui contenuti del Modulo A, mentre la seconda verte sui contenuti del Modulo B. Ciascuna prova intermedia si compone di una prova scritta e di una prova orale. La prova orale è obbligatoria e si accede ad essa solo dopo aver superato la prova intermedia scritta. Ogni prova intermedia si intende superata se e solo se il colloquio relativo ad essa è stato superato e cioè se lo studente ha ottenuto un punteggio pari ad almeno 18/30. È possibile sostenere la seconda prova intermedia soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova intermedia scritta è di 120 minuti.

Struttura delle prove intermedie scritte.

Ciascuna prova intermedia scritta ha la medesima struttura. In ciascuna prova intermedia scritta verranno proposti cinque esercizi.

Valutazione delle prove intermedie e voto finale.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova intermedia scritta è pari a 30/30. Ciascuna prova intermedia scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti. Lo studente che, pur avendo superato la prima prova intermedia, non avesse superato o sostenuto la seconda prova intermedia, potrà completare l'esame seguendo la Modalità B, sostenendo quindi la prova scritta parziale relativa al Modulo B nonché la prova orale dopo aver superato nel suo complesso la prova scritta. In alternativa, lo studente potrà sostenere l'esame completo seguendo la Modalità C.

Ciascuna prova orale verte su tutti gli argomenti del Modulo a cui si riferisce. Nella formulazione del voto finale di ciascuna prova intermedia si tiene conto del voto conseguito nella prova intermedia scritta e della valutazione della prova orale.

Il voto finale è l’arrotondamento per eccesso della media aritmetica dei voti ottenuti nelle due prove intermedie.

Modalità B: prova scritta a moduli e prova orale

La prova scritta è suddivisa in due prove parziali. La prima prova parziale verte sui contenuti del Modulo A, mentre la seconda verte sui contenuti del Modulo B. È possibile sostenere la seconda prova parziale soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova parziale è di 120 minuti. Si precisa che, seguendo tale modalità, le due prove parziali non potranno essere sostenute nel medesimo appello. Superata la prima prova parziale, lo studente potrà sostenere la seconda prova parziale in uno degli appelli successivi e comunque entro e non oltre la terza sessione di esami. La prova orale è obbligatoria e si accede ad essa solo dopo aver superato entrambe le prove parziali.

Struttura delle prove parziali.

Le due prove parziali hanno la stessa struttura. In ciascuna prova parziale verranno proposti cinque esercizi.

Valutazione di ciascuna parte in cui è suddivisa la prova scritta.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova parziale è pari a 30/30. Ognuna delle due prove parziali si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. In ciascuna prova parziale si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti. Il voto finale della prova scritta è l’arrotondamento per eccesso della media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove parziali.

Prova orale e voto finale

Il voto con cui lo studente viene ammesso alla prova orale è l’arrotondamento per eccesso della media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove intermedie. La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto con cui lo studente viene ammesso alla prova orale e della valutazione conseguita nella prova orale.

Modalità C: prova scritta completa e prova orale obbligatoria

In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sui contenuti del Modulo A e sui contenuti del Modulo B e, superata essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 120 minuti.

Struttura della prova scritta.

Nella prova scritta verranno proposti cinque esercizi.

Valutazione della prova scritta.

Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente risolve correttamente tre dei cinque esercizi proposti.

Prova orale e voto finale

La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.

Tutti gli argomenti menzionati nel programma possono essere richiesti in sede d’esame.
La frequenza delle lezioni, lo studio sui testi consigliati e lo studio del materiale fornito dal docente (dispense e raccolte di esercizi svolti e proposti) consentono allo studente di avere una idea chiara e dettagliata dei quesiti che possono essere proposti in sede d’esame.
Una adeguata esposizione della teoria prevede l’utilizzo del linguaggio rigoroso caratteristico della disciplina, l’esposizione di semplici esempi e controesempi che chiariscano i concetti esposti (definizioni, proposizioni, teoremi, corollari).

Le principali tipologie di esercizi relativi ai contenuti del Modulo A dell'insegnamento di Analisi Matematica I sono le seguenti:

• Ricerca degli estremi di un insieme numerico.
• Esercizi sui numeri complessi (manipolazioni algebriche, scrittura di numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, determinazione delle radici n-esime di numeri complessi, rappresentazioni di luoghi geometrici nel piano di Argand-Gauss, equazioni nel campo complesso).
• Calcolo di limiti.
• Studio della continuità e della derivabilità - e calcolo di derivate - di funzioni reali di una variabile reale. Classificazione dei punti di singolarità e dei punti di non derivabilità. 
• Questioni riguardanti l’invertibilità di funzioni e calcolo della derivata delle funzioni inverse.
• Studio di funzione e applicazioni (studio di una funzione e relativo grafico qualitativo, dimostrazione dell’esistenza di soluzioni di equazioni non lineari).