49803 - MATEMATICA PER L'ECONOMIA

1. conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

Il corso presenta da un punto di vista teorico gli elementi fondamentali dell’ottimizzazione statica, dei sistemi dinamici e dell’ottimizzazione dinamica studiandone con particolare enfasi alcune tra le applicazioni microeconomiche e macroeconomiche più rilevanti. Esempi e modalità di lavoro verranno presentati in aula durante le lezioni e le esercitazioni.

2 Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Al termine del corso lo studente ha acquisito conoscenze e competenze essenziali per lo studio dei sistemi economici avanzati. In particolare sa applicare correttamente la formulazione studiata nella rappresentazione e modellizzazione di sistemi reali. Nel dettaglio lo studente è in grado di: -risolvere problemi di ottimizzazione vincolata con obiettivi non lineari - calcolare esplicitamente la soluzione di sistemi di equazioni differenziali; - indagare la stabilità delle soluzioni in stato stazionario per sistemi lineari e non lineari; - formulare e studiare problemi di ottimizzazione dinamica in ambito economico.

3. Autonomia di giudizio (making judgements):

Il corso ha l’obiettivo di fornire agli studenti gli strumenti di ottimizzazione e di modellistica dinamica, di stimolare la capacità di leggere e interpretare un modello economico teorico e di sviluppare un'autonoma capacità critica nel contesto delle tematiche trattate.

4. Abilità comunicative (communication skills):

Lo studente dovrà aver acquisito al termine del corso il lessico tecnico relativo agli argomenti trattati ed una buona capacità di comunicare in modo chiaro le proprie affermazioni e considerazioni inerenti il programma svolto a lezione e approfondito sui testi consigliati.

5. Capacità di apprendimento (learning skills)

Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autonomia nello studio della disciplina, nella lettura, interpretazione ed analisi di modelli matematici in economia.

Elementi di algebra lineare e Funzioni a più variabili; ottimizzazione libera e vincolata; sistemi dinamici a tempo continuo ed a tempo discreto; introduzione all’ottimizzazione dinamica in economia.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Per la parte I:

(1) Simon, Blume, Matematica per le scienze economiche, EGEA, 2015

(2) A. Giarlotta, F. Lamantia, “Matematica Generale. Teoria e Pratica con quesiti a scelta multipla. Volume I".  Giappichelli, 2024

Per la parte II e III:

(3) Salsa, Squellati, Modelli dinamici e controllo ottimo, EGEA, 2006

(4) Bischi, Lamantia, Radi, Lecture notes on Dynamical Systems in Economics and Finance (dispense fornite dal docente).

La valutazione finale avviene in due fasi entrambe obbligatorie. Nella prima fase, lo studente deve sostenere un esame scritto con risposte aperte sui principali argomenti del programma. La seconda fase dell'esame, a cui si accede previo superamento dell'esame scritto, consiste in un colloquio con i docenti relativo all'esposizione degli argomenti teorici e lo svolgimento di esercizi.

L'esame scritto mira a valutare la capacità analitica dello studente e le sue abilità nel problem solving in ambito matematico. La prova orale mira a valutare il conseguimento delle competenze specifiche del corso, la conoscenza degli argomenti trattati e il rigore metodologico conseguito dallo studente.

Il compito scritto viene valutato in trentesimi sulla base della correttezza dello svolgimento, la chiarezza e la completezza della trattazione. La prova orale, anch’essa valutata in trentesimi, mira a valutare la padronanza, la chiarezza espositiva ed il livello di accuratezza della preparazione conseguita dallo studente. L’esame si considera superato se lo studente raggiunge un punteggio almeno pari a 18/30 ad entrambe le prove. Il voto finale, in trentesimi, è una media delle due prove sostenute dallo studente.

E' prevista una prova in itinere per i frequentanti.

1. Che cosa significa che un insieme di vettori è linearmente indipendente? Come si verifica?
2. Definisci lo spazio generato da un insieme di vettori e la base di uno spazio vettoriale.
3. Qual è la relazione tra rango, dimensione del kernel e dimensione dello spazio di partenza?
4. Spiega il concetto di sottospazio vettoriale.
5. Definisci una trasformazione lineare tra spazi vettoriali. Quali proprietà deve soddisfare?
6. Qual è la relazione tra trasformazioni lineari e matrici? Come si rappresenta una trasformazione lineare in una base?
7. Spiega il concetto di immagine e kernel di una trasformazione lineare. Qual è il loro significato geometrico?
8. Quando una trasformazione lineare è invertibile? Quali condizioni devono essere verificate?
9. Che cosa si intende per matrice associata a una trasformazione lineare?
10. Definisci autovalore e autovettore di una matrice. Qual è la loro interpretazione geometrica?
11. Qual è la differenza tra autovalori semplici e autovalori multipli?
12. Definisci cosa si intende per autospazio. Cosa è la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore?
13. Definisci il gradiente di una funzione. Qual è la sua interpretazione geometrica?
14. Che cosa rappresenta il differenziale di una funzione in più variabili?
15. Spiega il significato della matrice Hessiana e il suo ruolo nell’analisi della convessità.
16. Quali sono le condizioni necessarie di primo ordine per un punto stazionario in un problema senza vincoli?
17. Quali sono le condizioni di secondo ordine per classificare un punto stazionario (minimo, massimo, sella)?
18. Enuncia il criterio di Sylvester per la definizione di positività di una matrice.
19. Qual è la differenza tra convessità e concavità di una funzione?
20. Enuncia il teorema della funzione implicita.
21. Quali sono le condizioni necessarie per applicare il teorema della funzione implicita? (esistenza, differenziabilità, Jacobiano non nullo)
22. Spiega il significato geometrico del teorema della funzione implicita.
23. Come si utilizza il teorema della funzione implicita per calcolare derivate parziali di variabili definite implicitamente?
24. Qual è il legame tra il teorema della funzione implicita e la teoria delle curve di livello?
25. Quali sono le condizioni necessarie di primo ordine per un problema di ottimizzazione vincolata con vincoli di uguaglianza (Teorema di Lagrange)?
26. Quali sono le condizioni di secondo ordine e cosa garantiscono?
27. Spiega il significato economico dei moltiplicatori di Lagrange.
28. Quali sono le condizioni necessarie di primo ordine per un problema di ottimizzazione vincolata con vincoli di disuguaglianza (Teorema di Kuhn-Tucker)?
29. Qual è la differenza tra condizioni di Kuhn-Tucker e condizioni di Lagrange?
30. Che cosa si intende per qualificazione dei vincoli e perché è importante?
31. Enuncia il teorema dell’inviluppo e spiega il suo significato economico.
32. Qual è la differenza tra derivare la funzione valore rispetto a un parametro e derivare la funzione obiettivo?
33. Qual è l’interpretazione dei moltiplicatori di Lagrange nel contesto del teorema dell’inviluppo?
34. Definisci un’equazione differenziale ordinaria (ODE) e spiega la differenza tra ordine e grado.
35. Qual è la differenza tra equazioni differenziali lineari e non lineari?
36. Enuncia il teorema di esistenza e unicità per ODE (Picard-Lindelöf).
37. Spiega il concetto di soluzione generale e soluzione particolare di un’ODE.
38. Qual è la differenza tra equazioni omogenee e non omogenee? Fornisci un esempio.
39. Quali sono i metodi principali per risolvere ODE lineari del primo ordine?
40. Definisci un sistema lineare di equazioni differenziali. Qual è la forma matriciale?
41. Qual è il ruolo degli autovalori e degli autovettori nella soluzione di un sistema lineare di ODE?
42. Spiega il concetto di stabilità di un punto di equilibrio in un sistema lineare.
43. Qual è la differenza tra sistemi autonomi e non autonomi?
44. Come si classificano i punti critici di un sistema lineare bidimensionale in base agli autovalori?
45. Definisci la stabilità di un punto di equilibrio in un sistema dinamico.
46. Qual è la differenza tra stabilità di Lyapunov e stabilità asintotica?
47. Spiega il concetto di biforcazione e fornisci un esempio.
48. Che cosa è un attrattore? Qual è la differenza tra attrattore globale e locale?
49. Perché il teorema di Hartman-Grobman è importante nello studio dei sistemi non lineari?
50. Qual è il significato degli autovalori del Jacobiano in un sistema dinamico?
51. Enuncia il Principio di Massimo di Pontryagin.
52. Qual è il ruolo della variabile costato (o shadow price) in un problema di controllo ottimo?
53. Spiega la differenza tra formulazione in valore attuale e in valore corrente.
54. Che cosa significa trasversalità nelle condizioni di ottimalità?
55. Qual è la differenza tra l'approccio di Hamilton-Jacobi-Bellman e Pontryagin?