ANALISI MATEMATICA II M - Z

Il corso ha la finalità di fornire allo studente le nozioni principali del calcolo differenziale ed integrale delle funzioni di più variabili, delle equazioni differenziali e degli sviluppi in serie di funzioni.

Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and understanding). Lo studente apprenderà i concetti fondamentali del calcolo differenziale delle funzioni di più variabili e le sue applicazioni ai problemi di ottimizzazione libera e vincolata. Imparerà a calcolare integrali doppi e tripli e integrali su curve e superfici. Approfondirà la teoria e i metodi risolutivi delle equazioni differenziali ordinarie.

Capacità di applicare conoscenza e di comprensione (Applying knowledge and understanding) Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti dalle Scienze Applicate.

Autonomia di giudizio ( Making judgements) Lo studente sarà stimolato a studiare alcuni argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui potrà confrontarsi criticamente con gli altri studenti per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative ( Communication skills) La frequenza alle lezioni e la lettura di libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.

Capacità di apprendimento ( Learning skills) Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso la preparazione dei seminari e delle esercitazioni sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà alcuni esercizi alla lavagna. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno esercitazioni guidate e seminari in occasione dei quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi, esponendo parti del programma o argomenti di approfondimento. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.

I requisiti di frequenza sono quelli previsti dal Regolamento Didattico del CdS in Ingegneria Industriale.

1. Successioni e Serie di Funzioni.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi di continuità, integrabilità e derivabilità . Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze. Raggio e intervallo di convergenza di una serie di potenze. Criteri di Cauchy- Hadamard e D’Alambert. Teorema di Abel.Derivazione e integrazione delle serie di potenze.Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor . Sviluppi in serie delle funzioni e^x, senx, cosx, log(1+x), arctgx, (1+x)^a.

2. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI.

Richiami di topologia in Rⁿ. Limiti di funzioni di più variabili . Continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Lemma di Schwarz. Differenziabilità. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali. Derivazione delle funzioni composte.Funzioni con gradiente nullo. Funzioni definite mediante integrali. Estremi relativi. Condizione necessaria del 1° ordine .Condizione sufficiente del 2° ordine.

3.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE .

Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in piccolo.Teorema di esistenza ed unicità globale.Risoluzione di alcune equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, omogenee. Equazioni differenziali lineari. Proprietà generali. Metodo della variazione delle costanti.Equazione di Bernoulli. Equazioni omogenee a coefficianti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare.

4.CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI.

Generalità sulle curve. Lunghezza di una curva.Integrale curvilineo di una funzione.

5.FORME DIFFERENZIALI LINEARI

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme chiuse. Forme differenziali lineari su insiemi semplicemente connessi e su insiemi stellati.

6. INTEGRALI MULTIPLI

Misura secondo Peano-Jordan in Rn. Integrale di Riemann.Condizioni per l’integrabilità.Proprietà dell’integrale di Riemann. Misura del cilindroide e degli insiemi normali. Formule di riduzione. Cambiamento di variabil. Cenni sugli integrali generalizzati. Formule di Gauss.

7. FUNZIONI IMPLICITE

Il Teorema del Dini per le equazioni. Teorema sulla derivazione delle funzioni implicite. Massimi e minimi condizionati. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Tutte le comunicazioni ufficiali e il materiale didattico del corso verranno pubblicati su Studium.

L'esame consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Per potere essere ammesso al colloquio orale il candidato dovrà avere riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.
Accedono al colloquio orale gli studenti che superano la prova scritta.Il colloquio orale potrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. Esso sarà finalizzato soprattutto a valutare la padronanza degli argomenti e le capacità espositive.

Sono previste una prova in itinere da svolgersi nel mese di dicembre sulla parte di programma svolta e una prova di fine corso da svolgersi immediatamente dopo la fine delle lezioni sulla rimanente parte del programma.Le date delle prove in itinere e di fine corso verranno concordate con gli studenti.

La prova in itinere consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Gli studenti che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B accedono alla prova di fine corso .

La prova di fine corso si svolgerà con le stesse modalità dell'esame finale.

La prenotazione per un appello d’esame, prova in itinere o di fine corso è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Esempi di domande frequenti

1. Relazione tra convergenza puntuale, uniforme e totale per le serie di funzioni.
2. Insieme di convergenza di una serie di potenze.
3. Sviluppi in serie.
4. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità.
5. Estremi relativi di una funzione di più variabili,: condizioni necessaria e sufficienti.
6. Rettificabilità e lunghezza di una curva.
7. Forme differenziali esatte e forme differenziali chiuse.
8. Integrale generale delle equazioni lineari omogenee.

Esempi di esercizi frequenti

1. Determinare gli estremi relativi e assoluti di una funzione di due variabili.
2. Determinare l’integrale generale di una equazione differenziale.
3. Calcolare un integrale doppio o triplo.
4. Calcolare l’integrale curvilineo di una forma differenziale.
5. Studiare una serie di potenze.