ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A - E

MAT/03 - 9 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

SANTI DOMENICO SPADARO


Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di trattare i seguenti argomenti

1) Algebra Lineare: risoluzione di sistemi lineari, spazi vettoriali, studio delle applicazioni lineari, endomorfismi: ricerca degli autovalori e diagonalizzazione di un endomorfismo o una matrice.

2) Geometria: geometria lineare nel piano e nello spazio (rette e piani), studio di coniche e quadriche.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Il corso si articola in lezioni di teoria ed esercitazioni.


Prerequisiti richiesti

Equazioni e disequazioni di vario grado e tipo. Nozioni di base di algebra. Nozioni di base di geometria analitica. Trigonometria.



Frequenza lezioni

Obbligatoria.



Contenuti del corso

Il programma dettagliato verra' pubblicato gradualmente sul sito del docente nella sezione "Diario delle lezioni"

http://santispadaro.weebly.com/diario.html

 

Algebra

1. Insiemi. Operazioni algebriche binarie e strutture ad esse correlate: gruppi, anelli, campi. Applicazioni tra insiemi e loro proprietà.

2. Matrici e loro rango. Determinanti e loro proprietà. Inversa di una matrice quadrata. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Prodotto di matrici. Sistemi lineari. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione, incognite libere.

3. Spazi vettoriali e loro proprietà. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi. Indipendenza lineare di vettori. Generatori di uno spazio vettoriale. Base di uno spazio vettoriale. Metodo del completamento ad una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Somme dirette.

4. Applicazioni lineari e loro proprietà. Iniettività, suriettività, biettività e isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Cambio di base e suo significato intrinseco geometrico. Matrici cambiamento di base. Matrici simili.

5. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Endomorfismi semplici e diagonalizzazione di matrici.

Geometria:

1. Grandezze vettoriali. Spazi vettoriali a due, a tre dimensioni e a 'n' dimensioni. Operazioni tra vettori interne e esterne. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Base canonica nel piano e nello spazio, vettori per componenti e operazioni mediante le componenti. Geometria lineare nello spazio. Coordinate non omogenee e coordinate omogenee, punti impropri. Rette nel piano e nello spazio e loro equazioni. I piani e loro equazioni. Proprietà angolari di rette e piani e loro rispettive distanze. Fasci di rette e piani.

2. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche, loro matrici associate e invarianti ortogonali associati. Equazioni ridotte. Fasci di coniche. Coniche per cinque punti. Circonferenze e punti ciclici. Iperboli equilatere e loro caratterizzazione. Rette tangenti a una conica. Punti impropri di una conica. Classificazione delle coniche rispetto ai punti impropri.

3. Quadriche nello spazio e loro matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici. Quadriche degeneri: spezzate, coni e cilindri. Classificazione delle quadriche non degeneri. Riduzione in forma canonica dell'equazione di una quadrica. Rette e piani tangenti. Sezioni piane delle quadriche. Sfere.



Testi di riferimento

  1. Giuffrida, Ragusa: Corso di Algebra Lineare con esercizi svolti. Il Cigno Galileo Galilei, Roma.
  2. Paxia: Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania.


Altro materiale didattico

Materiale didattico è contenuto nella pagina web del docente: http://santispadaro.weebly.com/alg.html



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Insiemi e Strutture Algebriche.1. Capitolo 1. 
2Matrici. Somma di matrici, prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto riga per colonna.1. Capitolo 1. 
3Spazi vettoriali, basi, dimensione.1. Capitolo 2. 
4Sistemi lineari, determinanti, rango. 1. Capitolo 3. 
5Applicazioni lineari.1. Capitolo 4. 
6Endomorfismi, autovalori, endomorfismi semplici1. Capitolo 5. 
7Similitudine fra matrici, matrici diagonalizzabili.1. Capitoli 4 e 5. 
8Richiami sui vettori geometrici. Cambiamenti di coordinate.2. Capitolo 1. 
9Geometria lineare: rette, piani, angoli, distanze.2. Capitoli 2 e 3. 
10Coniche.2. Capitolo 4. 
11Quadriche.2. Capitolo 5. 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

L'esame è composto da una prova scritta e una prova orale. A quest'ultima si accede solo dopo aver superato la prova scritta. La prova scritta prevede tre esiti possibili: superata, superata con riserva e non superata.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

 

Per raccolte di esercizi e vecchi temi d'esame si rimanda al link: http://santispadaro.weebly.com/alg.html




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