MATEMATICA II

Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, gli integrali per funzioni di una e di più variabili reali, le equazioni differenziali e il calcolo differenziale per funzioni reali di due variabili reali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.

Abilità comunicative (communication skills): studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate e i seminari, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

Lezioni frontali.

Conoscenza solida dei contenuti acquisiti nel corso di Matematica I.

Fortemente consigliata.

1. Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale. Elementi di teoria della misura secondo Peano-Jordan. Integrale definito: definizione e proprietà. Funzioni primitive e loro caratterizzazione. Definizione di integrale indefinito. Funzioni integrali e funzioni primitive: il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione: integrazione per decomposizione e somma, integrazione di funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Cenni sugli integrali impropri.
2. Equazioni differenziali. Definizioni di equazione differenziale ordinaria, definizione di soluzione di una equazione differenziale. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili. Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti: caso omogeneo e caso non omogeneo. Ricerca di soluzioni particolari dell’equazione non omogenea tramite il metodo di somiglianza. Principio di sovrapposizione. Definizione di soluzione massimale di una equazione differenziale, teoremi di esistenza e unicità della soluzione di un problema di Cauchy associato ad equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.
3. Funzioni reali di due e di tre variabili reali. Definizioni di base. Topologia nel piano: punti interni, punti esterni e punti di frontiera, insiemi aperti e insiemi chiusi, punti di accumulazione e punti isolati, insiemi limitati, insiemi compatti, insiemi convessi, insiemi connessi per archi, regione, dominio. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive e Teorema di Schwarz. Gradiente e differenziabilità. Relazione tra continuità e differenziabilità e relativo controesempio. Teorema del differenziale totale. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Teorema di Lagrange in R² e caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in una regione. Massimi e minimi relativi: definizioni, condizione necessaria del primo ordine e controesempio, condizione necessaria del secondo ordine, condizione sufficiente del secondo ordine. Ricerca degli estremi assoluti di una funzione su un insieme compatto. Estremi vincolati. Teorema del moltiplicatore di Lagrange. Generalizzazione dei concetti esposti a funzioni reali di tre variabili reali.
4. Calcolo integrale per funzioni reali di due e di tre variabili reali. Introduzione al concetto di misura. Integrali doppi secondo Riemann e loro interpretazione geometrica. Proprietà di linearità e di monotonia degli integrali doppi. Integrali iterati e Teorema di Fubini (forma debole). Integrali doppi su regioni generiche. Domini normali rispetto agli assi coordinati e Teorema di Fubini (forma forte). Proprietà additiva rispetto all’insieme di integrazione per integrali doppi. Integrali tripli secondo Riemann e loro interpretazione geometrica. Proprietà degli integrali doppi. Integrali iterati e Teorema di Fubini (forma debole). Domini normali rispetto ai piani coordinati e Teorema di Fubini (forma forte). Proprietà additiva rispetto all’insieme di integrazione per integrali tripli. Cambiamenti di variabili negli integrali doppi: teorema del cambiamento di variabili, coordinate polari, coordinate ellittiche. Cambiamenti di variabili negli integrali tripli: teorema del cambiamento di variabili, coordinate polari (o sferiche), coordinate cilindriche.

Testi consigliati per la teoria.

1. S. Motta, M.A. Ragusa – Metodi e Modelli Matematici – Libreria CULC (2011).
2. N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone – Elementi di Analisi Matematica due – Liguori Editore (2001).
3. J. Stewart – Calcolo. Funzioni di più variabili – Maggioli Editore (2013).
4. Dispense distribuite dal Docente.

Testi consigliati per gli esercizi.

1. S. Motta, M.A. Ragusa, A. Scapellato – Metodi e Modelli Matematici. Esercizi e Complementi – Libreria CULC (2013).
2. P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Analisi Matematica Due. Prima parte – Zanichelli (2017).
3. P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Analisi Matematica Due. Seconda parte – Zanichelli (2017).
4. M. Bramanti – Esercitazioni di Analisi Matematica 2 – Società Editrice Esculapio (2012).
5. Dispense distribuite dal Docente.

http://studium.unict.it/dokeos/2019/courses/syllabus/?cid=12230

L'apprendimento medio degli studenti verrà valutato periodicamente tramite esercitazioni guidate in aula. L'esame finale consiste di una prova scritta e di un colloquio. Al colloquio si accede una volta superata la prova scritta. Sia la prova scritta che il colloquio verranno valutati in trentesimi. La valutazione della prova scritta incide parzialmente sulla formulazione del voto finale. La registrazione dell'esame avrà luogo solo dopo il superamento del colloquio.

Integrale indefinito e integrale definito; teoremi principali del calcolo integrale; equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine; derivate parziali; differenziabilità; estremi relativi e assoluti per funzioni reali di due variabili reali; integrali doppi; cambiamenti di variabili negli integrali doppi.