L'obiettivo principale del corso è quello di fornire allo studente un corredo di conoscenze sulle equazioni differenziali ordinarie che si snoda principalemente sulle seguenti due direttrici: soluzioni generalizzate del problema di Cauchy per equazioni differenziali del primo ordine in spazi di Banach; studio dei problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine mediante i metodi variazionali.
Sarà stimolata la capacità dello studente di applicare la conoscenza e comprensione della teoria man mano costruita a specifici problemi.
I prerequisiti richiesti si possono individuare nei contenuti dei corsi di Analisi I e II, di Istituzioni di Analisi Superiore e di Topologia generale, nonchè nelle nozioni di base di Algebra lineare.
La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.
1. Teorema del ricoprimento di Vitali. Funzioni a variazione limitata e loro derivabilità. Funzioni assolutamente continue. Formula fondamentale del calcolo integrale.
2. Calcolo differenziale ed integrale per funzioni a valori in uno spazio di Banach. Integrabilità secondo Bochner.
3. Equazioni differenziali ordinarie in spazi di Banach. Funzioni di Carathéodory. Misura di non compattezza di Kuratowski.
4. Derivabilità secondo Gateaux e secondo Fréchet per funzionali su spazi di Banach.
5. Spazi di Sobolev di funzioni di una variabile reale.
6. Formulazione variazionale dei problemi di Dirichlet, di Neumann e del probelma periodico per equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine. Teoremi di esistenza, di unicità e di molteplicità delle soluzioni.
1. E. Hille - R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, 1957.
2. E. Hewitt - K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer, 1975.
3. H. Brézis, Analisi funzionale, Liguori Editore, 1995.
Eventuali dispense saranno fornite dal docente durante le lezioni.
* | Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | * | Funzioni a variazione limitata (5 ore) | 2 |
2 | * | Funzioni assolutamente continue (5 ore) | 2 |
3 | * | Calcolo differenziale ed integrale per funzioni a valori in uno spazio di Banach (15 ore) | 1 |
4 | * | Integrabilità secondo Bochner (7 ore) | 1 |
5 | * | Equazioni differenziali ordinarie negli spazi di Banach (20 ore) | 1 |
6 | * | Formulazione variazionale di problemi ai limiti (20 ore) | 3 |
L'esame consiste in una prova orale nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione).
Non sono previste.
Non sono previste.
Derivabilità delle funzioni a variazione limitata.
Integrabilità secondo Bochner.
Formulazione variazionale di problemi ai limiti.