ISTITUZIONI DI MATEMATICHE M - Z

Fondamenti. Cenni di teoria degli insiemi. Principio di induzione. Sistemi numerici. Nozione di funzione. Grafico di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni inverse. Funzioni composte. Valore assoluto. Potenze. Esponenziali. Logaritmi. Funzioni trigonometriche. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico. I numeri complessi, operazioni, forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, radici n-esime dei numeri complessi. Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Coefficienti binomiali. Formula di Newton*.

Successioni. Definizione di successione. Successioni regolari. Unicità del limite. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Diseguaglianza di Bernoulli. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Criteri di convergenza e divergenza delle successioni*. Confronto tra infiniti.

Funzioni. Limiti di funzioni. Legame con i limiti delle successioni*. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità di una funzione. Composizione di funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Teorema dell'esistenza degli zeri*. Teorema dell'esistenza dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass*. Criteri di continuità per le funzioni inverse e le funzioni monotone*. Continuità delle funzioni elementari.

Calcolo differenziale. Derivata di una funzione. Significato geometrico. Derivabilità e continuità. Regole per il calcolo delle derivate. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Punti angolosi, cuspidi. Teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Criteri di monotonia. Concavità, convessità e flessi. Criterio di convessità*. Teorema di de l'Hopital*. Asintoti. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor.*

Integrali. Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Metodi di integrazione per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Integrali delle funzioni razionali fratte. Integrazione per razionalizzazione. Integrale definito. Proprietà degli integrali definiti*. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo degli integrali definiti. Calcolo delle aree. Integrali impropri. Criteri di convergenza*.

Serie. Definizione di serie e di carattere di una serie. Criterio di convergenza di Cauchy*. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie di Mengoli, geometrica e armonica. Operazioni sulle serie. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi*: confronto, infinitesimi, rapporto, radice, condensazione. Serie armonica generalizzata. Convergenza assoluta. Serie con termini di segno alterno. Criterio di convergenza di Leibnitz*.

Elementi di algebra lineare. Vettori ed algebra vettoriale, dipendenza ed indipendenza lineare tra vettori, basi, prodotto scalare, vettoriali, misto e doppio prodotto vettoriale. Matrici, operazioni tra matrici, determinanti e loro proprietà, invertibilità di una matrice, rango, riduzioni di matrici. I sistemi algebrici lineari, la regola di Cramer, il teorema di Rouché-Capelli, metodo di eliminazione di Gauss Jordan.

Elementi di geometria analitica nel piano. Equazione di una retta. Parallelismo ed ortogonalità tra rette. Cambiamenti di riferimento. Coordinate polari. Punti impropri. Classificazione delle coniche: circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.

Testi consigliati:

• P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
• E. Serra, Calcolo integrale per le Scienze applicate, CELID, Torino, 1998
• A. Repaci, Vettori, Matrici applicazioni , CELID, Torino, 1995
• P. Marcellini - C. Sbordone, Esercitazioni di matematica, Vol. 1 ( parte I e II) , Liguori Editore.
• G. Zwirner, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica Vol.1, CEDAM
• G. Zwirner, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica Vol.2, CEDAM

L'esame prevede una prova scritta atta a verificare le conoscenze teoriche e le capacità di calcolo dello studente. La prova scritta sarà poi seguita da una verifica orale.

Le dimostrazioni relative agli argomenti contrassegnati con * possono essere omesse.