ANALISI MATEMATICA II M - Z

Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze del calcolo differenziale e integrale delle funzioni di più variabili e la teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

Conoscenze di base del calcolo infinitesimale, differenziale e integrale delle funzioni di una variabile.

I requisiti di frequenza sono quelli previsti dal Regolamento Didattico del CL in Ingegneria Industriale.

1. Successioni e Serie di Funzioni.

Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teoremi di continuità, integrabilità e derivabilità . Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale. Serie di potenze. Raggio e intervallo di convergenza di una serie di potenze. Criteri di Cauchy- Hadamard e D’Alambert. Teorema di Abel.Derivazione e integrazione delle serie di potenze.Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor . Sviluppi in serie delle funzioni e^x, senx, cosx, log(1+x), arctgx..

2. FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI.

Richiami di topologia in Rⁿ. Limiti di funzioni di più variabili . Continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Lemma di Schwarz. Differenziabilità. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali. Derivazione delle funzioni composte.Funzioni con gradiente nullo. Funzioni definite mediante integrali. Estremi relativi. Condizione necessaria del 1° ordine .Condizione sufficiente del 2° ordine.

3.EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE .

Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità in piccolo.Teorema di esistenza ed unicità globale.Risoluzione di alcune equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, omogenee. Equazioni differenziali lineari. Proprietà generali. Metodo della variazione delle costanti.Equazione di Bernoulli. Equazioni omogenee a coefficianti costanti. Equazioni lineari a coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare.

4.CURVE ED INTEGRALI CURVILINEI.

Generalità sulle curve. Lunghezza di una curva.Integrale curvilineo di una funzione.

5.FORME DIFFERENZIALI LINEARI

Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme chiuse. Forme differenziali lineari su insiemi semplicemente connessi e su insiemi stellati.

6. INTEGRALI MULTIPLI

Misura secondo Peano-Jordan in Rn. Integrale di Riemann.Condizioni per l’integrabilità.Proprietà dell’integrale di Riemann. Misura del cilindroide e degli insiemi normali. Formule di riduzione. Cambiamento di variabil. Cenni sugli integrali generalizzati. Formule di Gauss.

7. FUNZIONI IMPLICITE

Il Teorema del Dini per le equazioni. Teorema sulla derivazione delle funzioni implicite. Massimi e minimi condizionati. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Tutte le comunicazioni ufficiali e il materiale didattico del corso verranno pubblicati su Studium.

L'esame finale consiste di una prova scritta e di un colloquio orale.

Nella prova scritta vengono proposte 3 definizioni , 3 teoremi e 4 esercizi. Il requisito minimo per superare la prova scritta è dare almeno una definizione corretta, enunciare e dimostrare correttamente almeno uno dei teoremi e svolgere correttamente almeno 2 degli esercizi proposti.

Accedono al colloquio orale gli studenti che superano la prova scritta.La prenotazione per un appello d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente via internet attraverso il portale studenti entro il periodo previsto.

Non sono previste previste prove in itinere.

Il docente, su richiesta degli studenti è disponibile ad effettuare prove in itinere riservate ai frequentanti. Qualora ciò avvenga, le regole e le modalità verranno pubblicate su Studium.

Non sono previste previste prove di fine corso.

Esempi di domande frequenti

1. Relazione tra convergenza puntuale, uniforme e totale per le serie di funzioni.
2. Insieme di convergenza di una serie di potenze.
3. Sviluppi in serie.
4. Relazioni tra continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità.
5. Estremi relativi di una funzione di più variabili,: condizioni necessaria e sufficienti.
6. Rettificabilità e lunghezza di una curva.
7. Forme differenziali esatte e forme differenziali chiuse.
8. Integrale generale delle equazioni lineari omogenee.

Esempi di esercizi frequenti

1. Determinare gli estremi relativi e assoluti di una funzione di due variabili.
2. Determinare l’integrale generale di una equazione differenziale.
3. Calcolare un integrale doppio o triplo.
4. Calcolare l’integrale curvilineo di una forma differenziale.
5. Studiare una serie di potenze.