METODI PROBABILISTICI, STATISTICI E NUMERICI

Il corso ha la finalità di fornire conoscenze le conoscenze di base del calcolo numerico e del calcolo delle probabilità nonché elementi introduttivi di problemi di statistica.

Sistemi di numerazione. Rappresentazione dei numerici in una base. Rappresentazione binaria. Numeri macchina e rappresentazione in virgola mobile. Fenomeno della cancellazione numerica. Problemi ben condizionati e stabilità numerica. Sistemi lineari. Norme di matrici e vettori. Numero di condizionamento di una matrice. Metodi diretti per larisoluzione di un sistema lineare: metodo di Gauss e del pivoting parziale; fattorizzazione LU, metodo di Choleski, metodo di Doolittle. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari: generalità, metodi di Jacobi e metodo di Gauss-Sidel, metodi di rilassamento. Zeri di equazioni non lineari. Metodo di bisezione, metodo delle secanti, metodo delle tangenti e di Newton. Metodo di Newton-Raphson per i sistemi. Metodi di interpolazione e di approssimazione. Interpolazione polinomiale, polinomi fondamentali di Lagrange, differenze divise, espressione del polinomio interpolante tramite le differenze divise. Funzioni spline. Metodo dei minimi quadrati. Formule di quadratura. Formule di Newton-Cotes: formula dei trapezi e di Simpson. Cenni sulle formule di quadratura gaussiane. Derivazione numerica. Formule alle differenze finite per l’approssimazione di derivate. Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero: schema e studio del comportamento dell’errore. Metodi Runge-Kutta espliciti: formulazione, errore locale di troncamento e analisi della assoluta stabilità . Cenni sui metodi impliciti. Risoluzione di problemi ai limiti tramite differenze finite. Cenni di programmazione in Matlab. Elementi di calcolo delle probabilità. Richiami di calcolo combinatorio: disposizioni semplici, permutazioni, combinazioni semplici. Spazi di probabilità: definizione, proprietà elementari, probabilità condizionale, indipendenza, teorema delle probabilità totali e teorema di Bayes. Variabili aleatorie discrete e continue: densità, funzione di ripartizione, densità congiunte e marginali, densità condizionali, indipendenza. Speranza matematica, momenti, varianza, covarianza, coefficiente di correlazione lineare. Disuguaglianza di Chebyshev. Legge della somma di due variabili aleatorie. Funzione di sopravvivenza. Calcolo di leggi e rispettive proprietà: distribuzione ipergeometrica, geometrica, binomiale, multinomiale, di Poisson, normale, leggi gamma, leggi esponenziali, leggi chi quadro. Convergenza in probabilità e legge dei grandi numeri. Convergenza in legge, teorema limite centrale e approssimazione normale. Statistica. Rappresentazione di dati, distribuzioni di frequenze, indici statistici, quantili empirici. Stimatori. Stimatori non distorti per media, varianza e proporzioni. Intervalli di confidenza per la media, sia nel casoin cui la varianza è nota che nel caso in cui la varianza è incognita, per la varianza e per le proporzioni. Distribuzione t di Student e chi-quadro. Analisi di regressione: generalità. Regressione lineare: equazioni normali dei minimi quadrati per la determinazione della retta di regressione. Proprietà degli stimatori di pendenza e ordinata all’origine della retta di regressione.

1. G. Monegato, Cento pagine di … Elementi di Calcolo Numerico,
Libreria Universitaria Levrotto e Bella, Torino
2. A. Quarteroni, R, Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer
3. V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni,
McGraw-Hill
4. P. Baldi Calcolo delle probabilità e statistica, McGraw-Hill
5. D. C. Montgomery, G. C. Runger Applied statistics and probability
for engineers, J. Wiley
6. R. Scozzafava Incertezza e probabilità, Zanichelli
7. A. Rotondi, P. Pedroni, A. Pievatolo Probabilità Statistica e
Simulazione, Springer