Il corso di Analisi Matematica I ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi e sul calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale.
In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:
Il corso è diviso in due parti. La prima parte riguarda la costruzione dei numeri reali, i numeri complessi, le nozioni basilari di topologia, le funzioni di una variabile reale, le successioni numeriche. La seconda parte riguarda le serie numeriche e gli integrali delle funzioni reali di una variabile reale. Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.
Buone conoscenze di base di Aritmetica, Algebra, Geometria Analitica, Trigonometria.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza non è richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di esame.
N.B.: Gli argomenti contrassegnati con * non sono conoscenze minime.
https://studium.unict.it/dokeos/2022/courses/26718/
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | Sistemi numerici | Testo 1: Cap. 1 e 2. Testo 2: Cap. 1. Testo 3: Cap. 1 e 2. |
2 | Limiti delle funzioni reali di una variabile reale | Testo 1: Cap. 3. Testo 2: Cap. 2. Testo 3: Cap. 3 e 4. |
3 | Funzioni continue | Testo 1: Cap. 4. Testo 2: Cap. 2. Testo 3: Cap. 4. |
4 | Calcolo differenziale | Testo 1: Cap. 5. Testo 2: Cap. 3. Testo 3: Cap. 5 e 6. |
5 | Integrazione secondo Riemann | Testo 1: Cap. 7. Testo 2: Cap. 5. Testo 4: Cap. 1 e 2. |
6 | Serie numeriche | Testo 1: Cap. 6 e 7. Testo 2: Cap. 4. Testo 4: Cap. 3. |
L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante tre modalità.
Modalità A: prove in itinere scritte e prova orale facoltativa
Le prove in itinere menzionate di seguito sono prove scritte. Sono previste due prove in itinere: la prima al termine del primo periodo didattico e la seconda al termine del secondo periodo didattico. La prima prova in itinere verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, mentre la seconda verte sulle UDE 5, 6. È possibile sostenere la seconda prova in itinere soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova in itinere è di 120 minuti. La prova orale è facoltativa.
Struttura delle prove in itinere.
Ciascuna prova in itinere ha la medesima struttura. In ciascuna prova verranno proposti due definizioni, due teoremi e quattro esercizi.
Valutazione delle prove in itinere e voto finale.
Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova in itinere è pari a 30/30. Ciascuna prova in itinere si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte, enuncia e dimostra correttamente uno dei due teoremi proposti e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti. Lo studente che, pur avendo superato la prima prova in itinere, non avesse superato o sostenuto la seconda prova in itinere, potrà completare l'esame seguendo la Modalità B, sostenendo quindi la prova scritta parziale relativa alle UDE 5, 6 nonché la prova orale dopo aver superato nel suo complesso la prova scritta. In alternativa, lo studente potrà sostenere l'esame completo seguendo la Modalità C.
Il voto finale dell’esame è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove in itinere. La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso ed è facoltativa. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nelle prove in itinere e della valutazione conseguita nell’eventuale prova orale.
Modalità B: prova scritta a moduli e prova orale obbligatoria
La prova scritta è suddivisa in due prove parziali. La prima prova parziale verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, mentre la seconda verte sulle UDE 5, 6. È possibile sostenere la seconda prova parziale soltanto se è stata precedentemente superata la prima. La durata di ciascuna prova parziale è di 120 minuti. La prova orale è obbligatoria. Si precisa che, seguendo tale modalità, le due prove parziali non potranno essere sostenute nel medesimo appello. Superata la prima prova parziale, lo studente potrà sostenere la seconda prova parziale in uno degli appelli successivi e comunque entro e non oltre la terza sessione di esami. La prova orale è obbligatoria e si accede ad essa solo dopo aver superato entrambe le prove parziali.
Struttura delle prove parziali.
Le due prove parziali hanno la stessa struttura. In ciascuna prova parziale verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.
Valutazione di ciascuna parte in cui è suddivisa la prova scritta.
Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova parziale è pari a 30/30. Ognuna delle due prove parziali si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. In ciascuna prova parziale si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti. Il voto finale della prova scritta è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove parziali.
Prova orale e voto finale
La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.
Modalità C: prova scritta completa e prova orale obbligatoria
In tale modalità, viene proposta una sola prova scritta che verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, 5, 6 e, superata essa, lo studente dovrà sostenere la prova orale. La prova scritta dura 120 minuti.
Struttura della prova scritta.
Nella prova scritta verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.
Valutazione della prova scritta.
Il massimo voto ottenibile nella prova scritta è pari a 30/30. La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti.
Prova orale e voto finale
La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.
Nota. La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso, la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazione.
Esempi di domande:
Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.
Esempi di esercizi:
Limiti di successioni e di funzioni, Calcolo di derivate di funzioni, Calcolo di integrali definiti e indefiniti, Studio del carattere di una serie numerica. Lo studente potrà reperire esempi di esercizi d'esame su Studium.