Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Il corso fornisce una descrizione completa delle basi della Topologia Generale. Particolare enfasi verrà data alla discussione di esempi ed esercizi.
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Familiarita' con la logica matematica elementare.
Fortemente consigliata.
La nozione di spazio topologico. Insiemi aperti e chiusi. Basi e sistemi fondamentali di intorni. Costruzione di una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilità. Funzioni continue ed omeoformismi. Sottospazi e proprietà ereditarie. Prodotto di spazi topologici: il caso finito e il caso generale. Spazi quoziente. Spazi metrici e spazi metrizzabili. Assiomi di separazione. Spazi normali e lemma di Urysohn. Il teorema di estensione di Tietze. Spazi compatti e loro proprietà fondamentali. Il teorema di Tychonoff. Il teorema di immersione. Una caratterizzazione fondamentale della completa regolarità. La nozione di compattificazione. Spazi connessi e loro proprietà. La connessione di un prodotto. Spazi loalmente compatti e compattificazione di Aleksandroff.
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti durante il corso.
2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti e la monografia General Topology di R. Engelking.
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | La nozione di spazio topologico. | 1 |
2 | Insiemi aperti e chiusi. Basi e sistemi fondamentali di intorni. | 1 |
3 | Costruzione di una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilità. | 1 |
4 | . Funzioni continue ed omeoformismi. Sottospazi e proprietà ereditarie. | 1 |
5 | Prodotto di spazi topologici: il caso finito e il caso generale. Spazi quoziente. Spazi metrici e spazi metrizzabili. | 1 |
6 | Assiomi di separazione. Spazi normali e lemma di Urysohn. Il teorema di estensione di Tietze | 1 |
7 | Spazi compatti e loro proprietà fondamentali. Il teorema di Tychonoff. Il teorema di immersione | 1 |
8 | Una caratterizzazione fondamentale della completa regolarità. La nozione di compattificazione. Spazi connessi e loro proprietà. | 1 |
9 | La connessione di un prodotto. Spazi loalmente compatti e compattificazione di Aleksandroff. | 1 |
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Basi di una topologia e loro proprietà.
La topologia prodotto. Spazi compatti ed esempi notevoli.