MATEMATICA II

Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, gli integrali per funzioni di una e di più variabili reali, le equazioni differenziali ed il calcolo differenziale per funzioni reali di due variabili reali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.

Autonomia di giudizio (making judgements):

lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le proprie capacità logiche. Il numero delle dimostrazioni obbligatorie sarà relativamente ridotto ma si darà estrema importanza alla comprensione delle definizioni e dei concetti e alla capacità di illustrarli con esempi.

Abilità comunicative (communication skills):

studiando l'Analisi Matematica, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza argomenti di natura scientifica, non solo in ambito matematico.

Capacità di apprendimento (learning skills):

gli studenti più interessati alla disciplina, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.

Lezioni frontali corredate da esercitazioni

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenza solida dei contenuti acquisiti nel corso di Matematica I . In particolare, è assolutamente necessario che lo studente abbia chiare tutte le definizioni viste nel corso di Matematica I, corredate da esempi, e abbia buona familiarità con gli esercizi relativi al corso di Matematica I.

fortemente consigliata

Calcolo integrale per funzioni di una sola variabile

Integrale indefinito e sue proprietà - Metodi di integrazione: integrazione per decomposizione e somma, integrazione di funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione – Definizione di integrale secondo Riemann e sue proprietà – Alcune classi di funzioni integrabili - Integrali definiti - Cenni di teoria della misura di Peano-Jordan - Significato geometrico dell’integrale di Riemann – Teorema fondamentale del calcolo integrale – Cenni sugli integrali generalizzati e impropri e loro proprietà.

Calcolo differenziale per funzioni di due o più variabili

Richiami di topologia nel piano: punti interni, punti esterni e punti di frontiera, insiemi aperti e insiemi chiusi, punti di accumulazione e punti isolati, insiemi limitati, insiemi compatti, insiemi convessi, insiemi connessi per archi, dominio - Funzioni di più variabili: limiti e continuità Teorema di Weierstrass- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivata parziale e direzionale – Differenziale e funzioni differenziabili – Derivate di ordine superiore e lemma di Schwarz – Operatori differenziali: gradiente, divergenza, rotore, laplaciano – Teorema di derivazione delle funzioni composte -Teorema di Lagrange in R² e caratterizzazione delle funzioni con gradiente nullo in una regione – Estremi liberi di una funzione di due variabili e teoremi relativi - Ricerca degli estremi assoluti su un insieme compatto

Calcolo integrale per funzioni di due o più variabili

Calcolo integrale per funzioni di più variabili: integrali doppi e tripli secondo Riemann – Cambiamento di variabili – Formule di riduzione: Teorema di Fubini – Integrali dipendenti da un parametro: regola di Leibinz.

Equazioni differenziali ordinarie

Generalità sulle equazioni differenziali – Il problema di Cauchy – Equazioni differenziali del primo ordine – Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili – Teorema di Cauchy sull’esistenza ed unicità della soluzione – Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti – Applicazioni allo studio di oscillazioni libere, smorzate e forzate.

Cenni sulla geometria delle curve e sulle forme differenziali lineari

Curve regolari e generalmente regolari - Curve rettificabili e loro lunghezza - Ascissa curvilinea - Integrale curvilineo di una funzione - Forme differenziali lineari - Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare - Forme differenziali esatte e chiuse - Fattore integrante - Applicazioni alla meccanica e alla termodinamica.

1. C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli , seconda edizione, 2015
2. C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli , seconda edizione, 2016
3. Fanciullo M. S., Giacobbe A., Raciti F., Esercizi di Analisi Matematica 2, Medical Books,2013.
4. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di Analisi Matematica 1 (solo il volume sugli integrali) , CULC Catania

Appunti relativi ad alcuni argomenti ed esercizi verranno caricati sulla pagina studium del docente relativa al corso in oggetto. In particolare, verrà fornita una dispensa con esercizi su equazioni differenziali ed una dispensa con esercizi su integrali doppi e tripli.

L'esame consiste in una prova scritta obbligatoria e in una facoltativa prova orale. La prova scritta consta di due parti.
Nella prima parte si assegnano due definizioni, tra cui sceglierne una sola da enunciare ed illustrare con eventuali esempi, e due teoremi, tra cui sceglierne uno solo da dimostrare .

Nella seconda parte si assegnano 3 esercizi.

Requisiti minimi per il superamento della prova scritta: svolgere correttamente la prima parte (ciò esporre correttamente la definizione scelta e dimostrare correttamente il teorema scelto ) e un

esercizio completo e corretto della seconda parte; in tal caso il voto raggiunto è 18. Se si svolgono correttamente tutti gli esercizi il voto massimo raggiungibile è 25. Lo svolgimento incompleto o errato di tutti e tre gli esercizi non dà luogo al superamento della prova scritta.

Superato l'esame scritto, la materia può essere registrata (con il voto dello scritto) oppure si può sostenere unesame orale su tutto il programma svolto a lezione. L'esame orale permette di aumentare il voto ottenutocon la prova scritta, ma potrebbe anche determinare una diminuzione dello stesso e nel caso in cui non sirisponda, in maniera precisa e corretta, ad alcuna delle domande poste può portare all'annullamento del risultato acquisito nella prova scritta, con conseguente necessità di ripetere la stessa prova

Definizione di Integrale di Rieman. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizione di derivata parziale e direzionale. Funzioni a gradiente nullo in un connesso. Differenziabilità e continuità per funzioni di più variabili. Enunciato del teorema di Cauchy per le equazioni differenziali, con esempi.