ANALISI MATEMATICA I J - Pr

Il corso di Analisi Matematica I ha la finalità di fornire le conoscenze di base sull'insieme dei numeri reali, sull'insieme dei numeri complessi e sul calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione: Lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica di base: fra questi, i numeri complessi, i limiti, le derivate e gli integrali per le funzioni reali di una variabile reale, le serie numeriche.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi basilari di modellizzazione matematica di problemi classici dell'Ingegneria.

Autonomia di giudizio: Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.

Abilità comunicative: La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico. Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento: Lo studente sarà guidato nel processo di perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Il corso è diviso in due parti. La prima parte riguarda la costruzione dei numeri reali, i numeri complessi, le nozioni basilari di topologia, le funzioni di una variabile reale, le successioni numeriche. La seconda parte riguarda le serie numeriche e gli integrali delle funzioni reali di una variabile reale.

Le lezioni sono accompagnate da esercitazioni pertinenti agli argomenti svolti e si svolgeranno in modalità frontale. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Buone conoscenze di base di aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza non è richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di esame.

1. SISTEMI NUMERICI. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo superiore e estremo inferiore. Proprietà ell'estremo superiore. Campi e Campi ordinati*. Il Campo dei numeri reali. Proprietà di Archimede. Densità. Radice n-esima. Potenza ad esponente razionale e reale. Logaritmo di un numero reale positivo. Il sistema esteso dei numeri reali. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Radici nel campo complesso.
2. LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Cenni di topologia. Teorema di Bolzano Weierstrass*. Funzioni reali di una variabile reale. Operazioni tra funzioni. Funzione inversa e funzione composta. Estremi assoluti e relativi di una funzione. Limiti delle funzioni reali. Unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Teorema di confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Limiti delle funzioni monotone. Infinitesimi e infiniti*. Asintoti. Successioni numeriche. Limiti di successioni. Caratterizzazione della nozione di limite di una funzione in termini di limiti di successioni*. Il numero di Nepero*. Limiti notevoli. Applicazione al calcolo di limiti. Successioni estratte*. Massimo e minimo limite di una successione*. Successioni di Cauchy*. Criterio di Cauchy per la convergenza di una successione*.
3. FUNZIONI CONTINUE. Definizione di continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Caratterizzazione della continuità mediante le successioni*. Singolarità di una funzione*. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema di Darboux sui valori intermedi*. Uniforme continuità*. Teorema di Cantor*. Altre condizioni sufficienti per l'uniforme continuità*.
4. CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivabilità e di derivata: suo significato geometrico. Punti angolosi e cuspidi. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Differenziale*. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per le funzioni derivabili. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Derivate di ordine superiore. Teoremi di de L'Hopital*. La formula di Taylor*. Funzioni convesse in un intervallo*. Studio qualitativo del grafico di una funzione. Successioni ricorsive*.
5. SERIE NUMERICHE. Carattere di una serie. Serie resto*. Operazioni con le serie. Serie armonica, di Mengoli* e geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy*. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice. Criterio di Raabe*. Criterio di condensazione di Cauchy. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno. Teorema di Leibniz. Proprietà associativa e commutativa*. Serie prodotto secondo Cauchy*. Teorema di Mertens*.
6. INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN. Integrabilità ed integrale secondo Riemann. Definizioni, proprietà e significato geometrico. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate*. Esempio di funzione non integrabile*. Proprietà degli integrali. Integrabilità del valore assoluto di una funzione integrabile*. Teorema del valore medio. Primitive. Funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema di Torricelli. Integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per razionalizzazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti*. Integrali impropri*. Criteri di sommabilità e di assoluta sommabilità*. Integrali impropri e serie*.

   N.B.: Gli argomenti contrassegnati con * non sono conoscenze minime.

1. Di Fazio G., Zamboni P., Analisi Matematica 1, Monduzzi Editoriale.
2. Di Fazio G., Zamboni P., Eserciziari per l'Ingegneria, Analisi Matematica 1, EdiSES.
3. D'Apice C., Manzo R. Verso l'esame di Matematica, vol. 1 e 2, Maggioli editore.

Del materiale didattico si può trovare sul sito http://studium.unict.it/dokeos/2016/

L’esame di Analisi Matematica I potrà essere superato mediante due modalità:

Modalità A: prove in itinere

Lo studente potrà sostenere le prove in itinere al termine di ciascuno dei due periodi didattici. Il superamento della prima è necessario per sostenere la seconda e la prova orale è facoltativa. La durata di ciascuna prova in itinere è di 120 minuti. Chi non supera la seconda prova puo' completare l'esame seguendo la modalita' B, sostenendo solamente la seconda parte della prova scritta e il colloquio.

Struttura delle prove in itinere.

Ciascuna prova in itinere ha la medesima struttura. In ciascuna prova verranno proposti due definizioni, due teoremi e quattro esercizi.

Valutazione delle prove in itinere.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova in itinere è pari a 30/30. Ciascuna prova in itinere si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente fornisce fornisce correttamente una delle due definizioni proposte, enuncia e dimostra correttamente uno dei due teoremi proposti e risolve correttamente due dei quattro esercizi proposti. Il voto finale dell’esame è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove in itinere scritte. La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso ed è facoltativa. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nelle prove in itinere e della valutazione cons nell’eventuale prova orale.

Modalità B: prova completa

La prova completa è suddivisa in due parti, sostenibili separatamente, e di un colloquio orale obbligatorio. La prima parte della prova scritta verte sulle UDE 1, 2, 3, 4, mentre la seconda verte sulle UDE 5, 6. La prima parte della prova scritta è propedeutica alla seconda e la durata di ciascuna delle due è di 90 minuti. In ogni appello d’esame lo studente potrà, a sua scelta, sostenere una sola o entrambe le parti della prova scritta. Lo studente che decida di sostenere solo la seconda parte della prova scritta, deve aver precedentemente superato la prima. Una volta superata la prima parte della prova scritta, lo studente dovrà superare la seconda parte entro la sessione autunnale. Si accede alla prova orale solo dopo aver superato entrambe le parti in cui è suddivisa la prova scritta.

Struttura della prova scritta.

La prima e la seconda parte della prova scritta hanno la stessa struttura. In ciascuna prova verranno proposti due definizioni e quattro esercizi.

Valutazione di ciascuna parte in cui è suddivisa la prova scritta.

Il massimo voto ottenibile in ciascuna parte è pari a 30/30. Ognuna delle due parti in cui è suddivisa la prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. In ciascuna parte della prova scritta, si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente fornisce correttamente una delle due definizioni proposte e risolve correttamente due dei quattro eserci proposti. La seconda parte della prova scritta verrà valutata solo se la prima è stata superata. Il voto finale della prova scritta è la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due parti in cui essa è suddivisa. La prova orale verte su tutti gli argomenti del corso. Nella formulazione del voto finale si tiene conto del voto conseguito nella prova scritta e della valutazione della prova orale.

Esempi di domande: Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità funzioni continue e delle funzioni monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.

Esempi di esercizi: limiti di successioni e di funzioni, studio dell'andamento di una funzione, determinazione del carattere di una serie, calcolo di integrali definiti e indefiniti. Lo studente potrà reperire esempi di esercizi d'esame su Studium.