ANALISI MATEMATICA III

MAT/05 - 6 CFU - 1° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

PIETRO ZAMBONI


Obiettivi formativi

Gli obiettivi formativi del corso riguardano la conoscenza della teoria delle funzioni di una variabile complessa e delle trasformate integrali. Lo studente dovrà inoltre sviluppare la capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzioni di problemi ed esercizi non banali.

Il corso di Analisi Matematica III ha la finalità di fornire la conoscenza della teoria delle funzioni di una variabile complessa e delle trasformate integrali. Lo studente dovrà inoltre sviluppare la capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzioni di problemi ed esercizi non banali.


In particolare, gli obiettivi del corso, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

  1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Lo studente
    apprenderà alcuni concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e di
    manipolazione di oggetti dell'Analisi Complessa: fra questi, la teoria delle funzioni di una variabile complessa e delle trasformate integrali.
  2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and
    understanding):
    Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nei processi
    di matematica superiore ai problemi tipici dell'Ingegneria Elettronica.
  3. Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente sarà stimolato ad approfondire
    autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sarà
    fortemente consigliato il confronto costruttivo fra studenti e il confronto costante con il docente in
    modo che lo studente possa monitorare criticamente il proprio processo di apprendimento.
  4. Abilità comunicative (communication skills): La frequenza delle lezioni e la lettura dei libri
    consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il rigore del linguaggio matematico.
    Attraverso la costante interazione con il docente, lo studente imparerà a comunicare con rigore e
    chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà
    imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.
  5. Capacità di apprendimento (learning skills): Lo studente sarà guidato nel processo di
    perfezionamento del proprio metodo di studio. In particolare, attraverso opportune esercitazioni
    guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti
    necessari per la loro comprensione.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

L'insegnamento viene svolto mediante lezioni di teoria ed esercitazioni, alla lavagna. Occasionalmente potranno essere usati ausili multimediali. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel Syllabus.

Il ricevimento studenti potrà anche essere svolto, previo appuntamento, in modalità telematica


Prerequisiti richiesti

Integrale di Lebesgue, Forme differenziali lineari, Serie di Fourier, Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.



Frequenza lezioni

La frequenza non è
richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di
esame



Contenuti del corso

  1. FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA. Il campo dei numeri complessi. Funzioni di variabile complessa. Il logaritmo di un numero complesso. Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy Riemann*. Integrale curvilineo di una funzione complessa. Teorema di Darboux. Teorema di Cauchy-Goursat*. Formule integrali di Cauchy. Primitiva di una funzione complessa. Teorema di Morera. Serie di potenze. Analiticitµa delle funzioni olomorfe. Teorema di Hermite-Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Serie di Laurent. Teorema di Laurent*. Singolarità isolate di una unzione olomorfa.Teorema di Picard*. Il punto all'infinito. Zeri di una funzione olomorfa. Principio di identità delle funzioni olomorfe. Residuo. Teorema dei residui. Applicazione al calcolo degli integrali.

  2. TRASFORMATA DI FOURIER DI FUNZIONI SOMMABILI. Cenni sulle funzioni a variazione limitata e assolutamente continue. La trasformata di Fourier. Continuità della trasformata di Fourier. Teorema di Riemann-Lebesgue. Linearitµa della trasformata di Fourier. Traslata e cambio di scala di una trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier di funzioni dispari e pari. Trasformata di Fourier della coniugata. Derivata della Trasformata di Fourier. Trasformata della derivata. Convoluzione di funzioni sommabili*. Trasformata di Fourier della convoluzione. Formula di moltiplicazione. Trasformata aggiunta. Inversione della trasformata di Fourier*. Eguaglianza di Parseval.

 

  1. TRASFORMATA DI LAPLACE DELLE FUNZIONI LOCALMENTE SOMMABILI. Trasformabilità e assoluta trasformabilitµa. Ascissa di convergenza e di assoluta convergenza. Trasformata di Laplace.Linearità della Trasformata di Laplace. Traslata e cambio di scala di una trasformata di Laplace. Uniforme convergenza*. Condizioni necessarie di antitrasformabilità. Olomorfia della trasformata*. Prima formula fondamentale*. Trasformabilità delle funzioni periodiche*. Convoluzione di funzioni localmente sommabili*. Trasformata di Laplace della convoluzione. Trasformata della funzione integrale. Seconda formula fondamentale*. Inversione della trasformata di Laplace. Antitrasformazione delle funzioni razionali. Antitrasformaione per serie*. Applicazione alle equazioni differenziali ed ai sistemi di equazioni differerenziali.

  1. TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI. Funzioni test e distribuzioni. Distribuzioni funzione. Delta di Dirac. Limiti e serie nel senso delle distribuzioni.Derivazione nel senso delle distribuzioni.Traslata di una distribuzione. Distribuzione periodica. Funzioni a decrescenza rapida. Distribuzioni temperate. Funzioni sommabili. Funzioni a crescenza lenta. La Trasformata di Fourier di funzioni a decrescenza rapida. La Trasformata di Fourier nell'ambito delle distribuzioni temperate. Supporto di una distribuzione. Gli spazi e .La Trasformata di Laplace nell'ambito delle distribuzioni.

  1. TRASFORMATA ZETA. Definizioone e proprietà. Applicazione alla risoluzione delle equazioni alle differenze e alle successioni definite per ricorrenza.



Testi di riferimento

  1. Di Fazio G., Frasca M. Metodi Matematici per l’Ingegneria,, Monduzzi Editoriale.


Altro materiale didattico

http://www.dmi.unict.it/~zamboni/

https://studium.unict.it/dokeos/2021/courses/23306



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSACap. 3 
2TRASFORMATA DI FOURIER DI FUNZIONI SOMMABILI.Cap. 5 
3TRASFORMATA DI LAPLACECap. 6 
4TRASFORMATA ZETA.Cap. 8 
5TEORIA DELLE DISTRIBUZIONICap. 7 


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

La prova d'esame è composta da una prova scritta della durata di due ore e una successiva prova orale. La prova scritta consta di quattro esercizi. Per essere superata occorre fare almeno due esercizi in modo corretto. La prova orale consta di tre domande.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Teorema dei residui, punti singolari, analiticità delle funzioni olomorfe, trasformata di Fourier, Trasformata din Laplace, distribuzioni funzione.

Calcolo di integrali mediante teorema dei residui, sviluppi di Laurent, sistemi di equazioni differenziali, limiti nel senso delle distribuzioni.

Esempi di esercizi potranno essere reperiti su Studium.




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