Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): definizioni e teoremi riguardanti i concetti fondamentali degli spazi vettoriali, applicazioni lineari ed endomorfismi, costruzioni di base e teoremi riguardanti rette e piani nello spazio e le coniche nel piano, definizioni e teoremi inerenti la classificazione delle quadriche.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): saper calcolare il rango di una matrice, con o senza parametro, sapere studiare uno spazio vettoriale, sapere fare lo studio di un'applicazione lineare, saper determinare autovalori e autovettori di endomorfismi, sapere fare la diagonalizzazione di una matrice, essere in grado di risolvere problemi di geometria lineare inerenti punti, rette e piani nello spazio, sapere classificare le coniche e le quadriche e studiare i fasci di coniche nel piano.
Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Sono previste delle ore di esercitazione, al di fuori dell'orario dele lezioni, svolte da un tutor qualificato. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente esercizi scelti, anche durante le ore di lezione. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Risoluzione di equazioni e disequazioni di grado minore o uguale a 3. Fattorizzazione di polinomi tramite procedure elementari da applicare in casi particolari, come ad esempio nel caso del "raccoglimento a fattor comune" o in una "differenza di quadrati". Funzioni goniometriche seno, coseno e tangente e valori che assumono in angoli notevoli. Radice quadrata e valore assoluto di un numero reali. Logica elementare e teoria elementare degli insiemi
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.
Algebra Lineare:
Geometria:
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.
E. Sernesi.
"Geometria 1".
Bollati Boringhieri, 2000..
e 5. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino.
"Geometria analitica: esercizi svolti"
"Algebra lineare: esercizi svolti"
Cavallotto Edizioni,Catania, 2012.
https://sites.google.com/view/giuseppefavacchio
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | Introduzione alla teoria degli insiemi. Introduzione ai campi e spazi vettoriali. Determinante di una matrice. Calcolo del rango e riduzione di una matrice. Risoluzione dei sistemi lineari. Tempo richiesto: 9 ore | Capitoli 1,2,3 in [1] |
2 | Operazioni con le matrici. Tempo richiesto: 2 ore | Capitolo 3 in [1] |
3 | Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Tempo richiesto: 9 ore | Capitolo 2 in [1] |
4 | Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base da un sistema di generatori e completamento a base di un insieme libero. Tempo richiesto: 2 ore | Capitolo 2 in [1] |
5 | Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione lineare. Calcolo di immagini e controimmagini. Tempo richiesto: 10 ore | Capitolo 4 in [1] |
6 | Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore | Capitolo 4 in [1] |
7 | Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice. Tempo richiesto: 9 ore | Capitolo 5 in [1] |
8 | Applicazioni sotto condizione. Restrizioni ed estensioni di applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore. | Capitolo 5 in [1] |
9 | Generalità sul calcolo vettoriale. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Assegnazione di una retta e di un piano e loro equazioni. Punti impropri. Intersezioni. Parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette e piani. Distanze. Tempo richiesto: 10 ore | Capitoli 1, 2, 3 in [2] |
10 | Angoli. Proiezioni ortogonali. Rette bisettrici e piani bisettori. Simmetrie. Luoghi di rette. 3 ore | Capitoli 1, 2, 3 in [2] |
11 | Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano, invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica. Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche. Tempo richiesto: 8 ore | Capitolo 4 in [2] |
12 | Studio completo delle coniche. Coniche sotto condizione. Tempo richiesto: 4 ore. | Capitolo 4 in [2] |
13 | Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di una quadrica e quadriche degeneri. Conica all’infinito. Coni e cilindri. Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Tempo richiesto: 7 ore. | Capitolo 5 in [2] |
14 | Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere. Tempo richiesto: 2 ore. | Capitolo 5 in [2] |
PROVA D'ESAME: La prova d'esame è composta da una prova scritta (la cui durata è di norma 3 ore) e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30). Verranno proposti uno o più quesiti a risposta aperta riguardanti sia la parte di Algebra lineare che la parte di Geometria.
PROVE IN ITINERE: Durante lo svolgimento delle lezioni sono previste due prove in itinere, entrambe della durata di circa 2 ore, riservate esclusivamente agli studenti del primo anno.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.
La prima prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella prima parte del corso (dedicata allo studio dell'Algebra Lineare). Il superamento della prima prova in itinere permette di acquisire fino a 15 (superamento della prova con voto pari a 6).
La seconda prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella seconda parte del corso (dedicata allo studio della Geometria Analitica). La partecipazione alla seconda prova è indipendente dalla partecipazione alla prima e dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta. Questa seconda prova permette di ottenere un voto massimo di 15 (superamento della prova con voto pari a 6).
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esercizi di Algebra Lineare
Esercizi di Geometria
Sono possibili inoltre semplici esercizi a carattere teorico. Sapere dimostrare o confutare un enunciato di Algebra Lineare o Geometria.