ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A - Co

MAT/03 - 9 CFU - 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

CARMELO ANTONIO FINOCCHIARO
Email: cafinocchiaro@unict.it
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica


Obiettivi formativi

Competenze: saper calcolare il rango di una matrice, con o senza parametro, sapere studiare uno spazio vettoriale, sapere fare lo studio di
un'applicazione lineare, saper determinare autovalori e autovettori di endomorfismi, sapere fare la
diagonalizzazione di una matrice, essere in grado di risolvere problemi di geometria lineare inerenti punti,
rette e piani nello spazio, sapere classificare le coniche e le quadriche e studiare i fasci di coniche nel
piano.

Conoscenze: definizioni e teoremi riguardanti i concetti fondamentali degli spazi vettoriali, applicazioni
lineari ed endomorfismi, costruzioni di base e teoremi riguardanti rette e piani nello spazio e le coniche
nel piano, definizioni e teoremi inerenti la classificazione delle quadriche.


Modalità di svolgimento dell'insegnamento

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi
significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Sono previste delle ore di esercitazione, al di fuori
dell'orario dele lezioni, svolte da un tutor qualificato. Gli studenti saranno invitati a svolgere
autonomamente esercizi scelti, anche durante le ore di lezione. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza
potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto
dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e
riportato nel syllabus.


Prerequisiti richiesti

Risoluzione di equazioni e disequazioni di grado minore o uguale a 3. Fattorizzazione di polinomi tramite procedure elementari da applicare in casi particolari, come ad esempio nel caso del "raccoglimento a fattor comune" o in una "differenza di quadrati". Funzioni goniometriche seno, coseno e tangente e valori che assumono in angoli notevoli. Radice quadrata e valore assoluto di un numero reali. Logica elementare e teoria elementare degli insiemi



Frequenza lezioni

Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in
itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.



Contenuti del corso

Algebra Lineare:
1. Generalità sugli insiemi, operazioni. Applicazioni tra insiemi, immagine e controimmagine,
iniettività, suriettività, applicazioni biettive. Insiemi con operazioni, le principali strutture
geometriche: gruppi, anelli, campi.
2. I vettori dello spazio ordinario. Somma di vettori, prodotto di un numero per un vettore. Prodotto
scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Componenti dei vettori ed operazioni mediante
componenti.
3. I numeri complessi, operazioni e proprietà. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri
complessi. Formula di Moivre. Radici n-esime dei numeri complessi.
4. Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi. Sottospazi. Intersezione, unione e somma di sottospazi.
Indipendenza lineare, relativo criterio. Generatori di uno spazio. Base di uno spazio, metodo degli
scarti successivi, completamento ad una base. Lemma di Steinitz, dimensione di uno spazio
vettoriale. Formula di Grassmann*. Somme dirette.
5. Generalità sulle matrici. Rango. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Matrici elementari. Prodotto di matrici. Sistemi
lineari, teorema di Rouché-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di riduzione (di
Gauss), incognite libere. Inversa di una matrice quadrata. Sistemi omogenei e sottospazio delle
soluzioni.
6. Determinanti e loro proprietà*. I teoremi di Laplace*. Calcolo dell'inversa di una matrice quadrata.
Teorema di Binet*. Teorema di Cramer*. Teorema di Kronecker*.
7. Applicazioni lineari e loro proprietà. Nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Iniettività,
suriettività, isomorfismi. Lo spazio L(V,W), suo isomorfismo* con K^{m,n}. Studio delle applicazioni
lineari. Cambio di base, matrici simili.
8. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Polinomio caratteristico. Dimensione degli
autospazi. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili.

Geometria:
1. Geometria lineare nel piano. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Rette e loro equazioni.
Intersezioni tra rette. Coefficiente angolare. Distanze. Fasci di rette.
2. Geometria lineare nello spazio. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. I piani e loro
equazioni. Le rette, loro rappresentazione. Elementi impropri. Proprietà angolari di rette e piani.
Distanze. Fasci di piani.
3. Cambiamenti di coordinate nel piano, rotazioni e traslazioni. Coniche e matrici associate, invarianti
ortogonali. Equazioni ridotte, riduzione di una conica a forma canonica. Classificazione delle
coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di
coniche e loro uso per determinare coniche particolari.
4. Quadriche nello spazio e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici e quadriche degeneri. Coni
e cilindri, loro sezioni. Equazioni ridotte, riduzione di una quadrica a forma canonica. Classificazione
delle quadriche non degeneri. Sezioni di quadriche con rette e piani. Rette e piani tangenti.
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.



Testi di riferimento

1. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Algebra lineare: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.

2. P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino. Geometria analitica: esercizi svolti. Cavallotto Edizioni,
Catania, 2012.

3. S. Giuffrida, A. Ragusa: Corso di Algebra Lineare. Il Cigno Galileo Galilei, Roma, 1998.

4. G. Paxia, Lezioni di Geometria. Spazio Libri, Catania, 2000.

5. E. Sernesi. Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000.


Altro materiale didattico

https://studium.unict.it/

http://carmeloantoniofinocchiaro.blogspot.com/



Programmazione del corso

 ArgomentiRiferimenti testi
1Insiemi, relazioni, funzioni. Composizione fra funzioni. Funzioni iniettive, surgettive e bigettive. Restrizioni ed estensioni. Composizione di funzioni. Inversa di una funzione bigettiva.
2Relazioni di equivalenza. Partizioni. Classi di equivalenza. Insieme quoziente.
3Strutture algebriche. Monoidi, gruppi, anelli, campi.
4Polinomi e loro grado. Algoritmo di divisione. Teorema di Ruffini. Regola di Ruffini. Molteplicità delle radici. Polinomi riducibili. Campi algebricamente chiusi. Campo dei numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria. Coniugato. Modulo. Formula di De Moivre. Teorema fondamentale dell'algebra. Fattorizzazione di polinomi sul campo reale e complesso. Riducibilità sul campo dei numeri reali.
5Matrici. Somma fra matrici. Prodotto riga per colonna. Matrici elementari. Matrici invertibili e loro inversa. Matrici ridotte per righe. Riduzione per righe.
6Determinante di una matrice quadrata. Teorema di Binet. Cofattori. Teoremi di Laplace. Calcolo di determinanti.
7Sistemi lineari e loro forma matriciale. Risoluzione di sistemi lineari. Algoritmo di Gauss-Jordan. Infinità delle soluzioni. Teorema di Rouché-Capelli
8Spazi vettoriali e loro sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somme dirette. Generatori di spazi vettoriali. Spazi vettoriali finitamente generati.
9Indipendenza lineare. Lemma di Steinitz. Basi e dimensione. Metodo degli scarti successivi. Estensione di un insieme indipendente ad una base.
10Applicazioni lineari. Immagine e controimmagine di sottospazi. Nucleo e iniettività. Teorema sulle dimensioni del nucleo e dell'immagine. Isomorfismi. Spazi vettoriali isomorfi.
11Composizione di applicazioni lineari. Isomorfismi. Prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Formula di Grassmann. Matrici rappresentative di una applicazione lineare. Matrici del cambio di base. Relazione tra matrici associate alla stessa applicazione. Matrici simili.
12Endomorfismi diagonalizzabili. Autovalori ed autovettori. Polinomio caratteristico. Coefficienti del polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Somma diretta di sottospazi. Indipendenza degli autospazi. Endomorfismi diagonalizzabili e loro caratterizzazione.
13Spazi affini. Vettori geometrici. Angolo tra due vettori. Spazi proiettivi. Punti impropri. Omogeneizzazione di polinomi.
14Curve algebriche. Rette nel piano proiettivo. Retta per due punti. Superfici algebriche. Piani e rette nello spazio proiettivo. Rette complanari, incidenti e sghembe.
15Fasci di piani. Equazione della retta in forma vettoriale e parametrica. Distanze. Punto medio e asse di un segmento. Luoghi geometrici. Bisettrici. Circonferenze. Sfere. Simmetrie.
16Coniche e loro matrici associate. Matrice associata ad una conica. Coniche spezzate. Punti singolari. Punti impropri di una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Equazioni ridotte. Trasformazione di una conica in forma ridotta.
17Invarianti ortogonali. Rette tangenti ad una conica. Polarità. Teorema di reciprocità. Equazioni canoniche. Ellisse reale ed ellisse immaginaria. Iperbole. Parabola. Assi e centro di simmetria. Fuochi e direttrici. Centro di una conica. Circonferenze. Punti ciclici. Iperboli equilatere. Fasci di coniche. Luogo base. Coniche spezzate di un fascio. Coniche bitangenti. Coniche per 5 punti.
18Quadriche. Matrice associata. Vertici. Quadriche riducibili. Coni e cilindri. Classificazione dei cilindri. Conica all'infinito. Classificazione delle quadriche non degeneri. Iperboloidi, paraboloidi ed ellissoidi. Rette e piani tangenti. Natura dei punti di una quadrica. Forme canoniche.
19Sfere e circonferenze nello spazio.


Verifica dell'apprendimento


MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

PROVA D'ESAME: La prova d'esame è composta da una prova scritta (la cui durata è di norma 3 ore) e una prova orale
obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30).
Verranno proposti uno o più quesiti a risposta aperta riguardanti sia la parte di Algebra lineare che la
parte di Geometria.

PROVE IN ITINERE: Durante lo svolgimento delle lezioni sono previste due prove in itinere, entrambe della
durata di circa 2 ore, riservate esclusivamente agli studenti del primo anno.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in
itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.
La prima prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella prima parte del corso (dedicata allo studio dell'Algebra Lineare). Il superamento della prima prova in itinere permette di acquisire fino a 15
(superamento della prova con voto pari a 6).
La seconda prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nella seconda parte del corso (dedicata allo studio della Geometria Analitica). La partecipazione alla seconda prova è indipendente dalla partecipazione alla prima e
dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta. Questa seconda prova permette di ottenere un
voto massimo di 15 (superamento della prova con voto pari a 6).

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.


ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

Esercizi di Algebra Lineare

1. Studio di un'applicazione lineare al variare del parametro, determinandone nucleo e immagine.

2. Studio della semplicità di un endomorfismo al variare del parametro, determinandone, quando
possibile, una base di autovettori.

3. Calcolo della controimmagine di un vettore, risoluzione di un sitema lineare, al variare del
parametro, controimmagine di uno spazio vettoriale, immagine di uno spazio vettoriale.

4. Esercizi sugli spazi vettoriali e sulla loro dimensione, su somma diretta, sulle operazioni con le applicazioni lineari, applicazioni lineari indotte,
restrizioni ed estensioni.

Esercizi di Geometria

1. Esercizi di geometria lineare nello spazio: parallelismo e perpendicolarità, distanze, proiezioni ortogonali, angoli.

2. Studio di un fascio di coniche, già assegnato oppure da determinare. Studio completo di una conica. Coniche sotto condizione.

3. Studio di quadriche al variare del parametro. Quadriche sotto condizione. Studio di una conica intersezione di una quadrica con un piano.

Sono possibili semplici esercizi a carattere teorico. Sapere dimostrare o confutare un enunciato di Algebra Lineare o Geometria.




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