ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA

12 CFU - 1° e 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

GIUSEPPE MULONE

Obiettivi formativi

MODULO I
Gli obiettivi formativi del corso sono:

1. Dare gli elementi di base sulle equazioni differenziali a derivate parziali della fisica matematica (I modulo), della meccanica dei continui e della fluidodinamica (II modulo).

2. Comprensione di fenomeni fisici retti da equazioni a derivate parziali; costruzione dei modelli matematici: equazioni delle onde, calore, equazioni di Laplace, equazioni della meccanica dei continui e della fluidodinamica.

3. Comprensione dei vari metodi risolutivi: perché è stato proposto un metodo risolutivo? Quali metodi alternativi? Capire come dalle soluzioni analitiche ottenute si passa all'interpretazione fisica dei risultati (bontà dei modelli o paradossi).

4. Sarà privilegiato il ragionamento sulla parte fisica, sui modelli e sulla risoluzione analitica.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

Alla fine del corso di Istituzioni di Fisica Matematica (modulo I e II), lo studente, oltre ad aver acquisito le conoscenze e le capacità di base nell’ambito della modellizzazione matematica, dimostrerà di:
- saper applicare la teoria in situazioni reali;
- possedere conoscenze e capacità di comprensione di testi.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Le conoscenze teoriche e pratiche acquisite durante il corso permetteranno allo studente di:
- analizzare criticamente i vari modelli;
- proporre soluzioni a problemi concreti;
- identificare l'essenza di un problema e applicare principi generali a casi specifici.
Autonomia di giudizio (making judgements):

Lo studente, in virtù della formazione acquisita, anche di tipo analitico-quantitativo, sarà in grado di analizzare ed interpretare criticamente i dati forniti.

Abilità comunicative (communication skills):

Alla fine del corso di Istituzioni di Fisica Matematica lo studente sarà in grado di:
- trasmettere la propria esperienza e conoscenza ad altri;
- confrontarsi con gli altri, specialmente nell'elaborazione di progetti in cui si lavora in gruppo.
Capacità di apprendimento (learning skills):

Lo studente avrà acquisito capacità di apprendere, anche in modo autonomo, ulteriori conoscenze sui problemi di matematica applicata. Tali capacità di apprendimento gli consentiranno di proseguire gli studi matematici con maggiore autonomia.
MODULO II
Gli obiettivi formativi del corso sono:

1. Dare gli elementi di base su meccanica dei continui e della fluidodinamica (II modulo).

2. Comprensione di fenomeni fisici della meccanica dei continui e della fluidodinamica.

3. Comprensione dei vari metodi risolutivi: perché è stato proposto un metodo risolutivo? Quali metodi alternativi? Capire come dalle soluzioni analitiche ottenute si passa all'interpretazione fisica dei risultati.

4. Sarà privilegiato il ragionamento sulla parte fisica, sui modelli e sulla risoluzione analitica.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

Alla fine del corso di Istituzioni di Fisica Matematica (modulo I e II), lo studente, oltre ad aver acquisito le conoscenze e le capacità di base nell’ambito della modellizzazione matematica, dimostrerà di:
- saper applicare la teoria in situazioni reali;
- possedere conoscenze e capacità di comprensione di testi.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Le conoscenze teoriche e pratiche acquisite durante il corso permetteranno allo studente di:
- analizzare criticamente i vari modelli;
- proporre soluzioni a problemi concreti;
- identificare l'essenza di un problema e applicare principi generali a casi specifici.
Autonomia di giudizio (making judgements):

Lo studente, in virtù della formazione acquisita, anche di tipo analitico-quantitativo, sarà in grado di analizzare ed interpretare criticamente i dati forniti.

Abilità comunicative (communication skills):

Alla fine del corso di Istituzioni di Fisica Matematica lo studente dovrà essere in grado di:
- trasmettere la propria esperienza e conoscenza ad altri;
- confrontarsi con gli altri, specialmente nell'elaborazione di progetti in cui si lavora in gruppo.
Capacità di apprendimento (learning skills):

Lo studente deve aver sviluppato le competenze necessarie per costruire semplici modelli con autonomia; avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

MODULO I
Lezioni frontali ed esercizi svolti dagli studenti a casa e in classe.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a
distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto
a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel syllabus.
MODULO II
Lezioni frontali ed esercizi svolti dagli studenti a casa e in classe.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a
distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto
a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel syllabus.

Prerequisiti richiesti

MODULO I
Conoscenza delle equazioni differenziali ordinarie, della fisica matematica (meccanica razionale), Serie di Fourier (alcuni concetti saranno richiamati a lezione).
MODULO II
Fisica matematica, equazioni differenziali ordinarie e a derivate parziali (I modulo).

Frequenza lezioni

MODULO I
Fortemente consigliata
MODULO II
Fortemente consigliata

Contenuti del corso

MODULO I
(I modulo)

Equazioni differenziali a derivate parziali della fisica matematica.

Equazioni delle onde

Equazioni del calore

Equazione di Laplace e di Poisson.

Programma completo:

Definizioni. Cenni sulle equazioni a derivate parziali del primo
ordine. Classificazione delle
equazioni del secondo ordine. Equazione del secondo ordine con
coefficienti costanti. Riduzione in forma canonica. Riduzione di
un'equazione del secondo ordine con due variabili indipendenti a forma
canonica. Teorema di Cauchy-Kowalewsky.

Equazioni di tipo
iperbolico. Equazione della corda vibrante.
Oscillazioni di una corda illimitata: soluzione di
D'Alembert. Caso della corda finita. Equazioni iperboliche con due
variabili indipendenti: problema di Cauchy e teorema di esistenza.
Equazione omogenea delle onde nel caso tridimensionale. Metodo della
media sferica. Formula di
Poisson. Metodo della discesa. Onde cilindriche. Equazione non omogenea:
principio di Duhamel. Problema di
Cauchy: caratteristiche. Problema misto: unicità e dipendenza
continua. Metodo di Fourier per l'equazione delle onde nel caso
unidimensionale.

Equazioni di tipo parabolico. Primo problema ai valori al contorno
per l'equazione del calore. Teorema del massimo. Unicità e
dipendenza continua. Metodo di Fourier per l'equazione del calore
nel caso unidimensionale. Problema di Cauchy per l'equazione del
calore. Soluzione fondamentale. Teorema di esistenza, unicità
e dipendenza continua.

Equazioni di tipo ellittico. Equazione di Laplace. Formula di
Green. Soluzione del problema interno di Dirichlet per una sfera.
Soluzione del problema esterno di Dirichlet per una sfera.
Comportamento di un'arbitraria funzione armonica all'infinito.
Teorema di unicità per il problema di Neumann. Applicazioni.
Cenni sull'equazione di Poisson.
MODULO II
(II modulo)

Meccanica dei Continui

Fluidi non viscosi, fluidi stokesiani, Equazioni di Navier Stokes.

Programma completo:

Cenni di teoria dei campi. Gradiente, divergenza, rotore. Campi
conservativi. Gradiente e divergenza di un campo tensoriale.
Cinematica dei sistemi continui. Punti di vista lagrangiano ed
euleriano. Rappresentazione lagrangiana del moto. Rappresentazione
euleriana del moto. Linee di corrente e linee di flusso. Identità
cinematiche. Formula di Eulero, teorema del trasporto. Formula
fondamentale della cinematica dei sistemi continui. Coefficienti
di dilatazione lineare e cubica. Deformazioni angolari. L'atto di
moto rigido come caso particolare di un generico atto di moto
continuo.

Dinamica dei mezzi continui. Bilancio della massa,
equazione di continuità. Assioma degli sforzi di Cauchy. Bilancio
della quantità di moto e del momento delle quantità di moto.
Teorema di Cauchy e tensore degli sforzi. Equazione locale del
bilancio della quantità di moto. Equazione locale del bilancio del
momento delle quantità di moto, simmetria del tensore degli
sforzi. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi continui.
Bilancio dell'energia: primo principio della termodinamica.
Secondo principio della termodinamica. Fluidi perfetti: equazione
costitutiva dei fluidi non viscosi. Equazione caratteristica dei
fluidi perfetti. Fluido perfetto barotropico in equilibrio sotto
l'azione di forze conservative. Teorema di Bernoulli. Grandezze
oggettive. Processi termocinetici e termodinamici. Storia di una
funzione. Assiomi fondamentali delle equazioni costitutive. Una
classe di sistemi continui omogenei senza memoria.

Fluidi stokesiani. Rappresentazione del tensore degli sforzi nei
fluidi stokesiani. Pressione. Fluidi polinomiali. Fluidi newtoniani.
Tesore degli sforzi viscosi: funzione di dissipazione. Il problema del
moto dei fluidi newtoniani. Equazione di Navier-Stokes. Condizioni al
contorno. Equazioni adimensionali. Problema ai valori iniziali e al
contorno per le equazioni di Navier-Stokes. Soluzioni classiche.
Esempi di soluzioni classiche. Moti piani di Couette e
di Poiseuille. Equazioni di moto di
un fluido newtoniano incomprimibile. Equazione del moto differenza.
Equazione dell'energia. Teorema di unicità. Disuguaglianza di
Poincaré. Stabilità di un fluido viscoso incomprimibile.
Metodo di stabilità lineare e metodo di Lyapunov. Stabilità
in energia. Teoremi di stabilit\`a universale di Serrin. Problema
variazionale associato. Cenno ai problemi di convezione: problema di Bénard.

Testi di riferimento

MODULO I
[1] G. MULONE, Appunti di equazioni a derivate parziali della fisica matematica.

[2] M.M. SMIRNOV, Second-Order partial differential equations, ed. Noordhoff.

[3] F.JOHN, Partial differential equations, Springer-Verlag.

[4] V.I. SMIRNOV, Corso di matematica superiore II, Editori Riuniti.

[5] J. FLAVIN, S. RIONERO, Qualitative estimates for partial differential equations. An introduction. Boca Raton, Florida: CRC Press, 1996.

[7] N.S.KOSHLYAKOV, M.M.SMIRNOV, E.B.GLINER, Differential equations of mathematical physics, ed. North-Holland.

[8] A.N.TICHONOV, A.A. SAMARSKIJ, Equazioni della fisica matematica, ed. Mir.

[9] L.C. EVANS, Partial differential equations, American Mathematical Society, 1998.

[10] H. LEVINE, Partial differential equations, American Mathematical Society, 1997.
MODULO II
[1] G. MULONE, Appunti di elementi di meccanica dei continui.

[2] T. RUGGERI, Introduzione della termomeccanica dei continui, II edizione riveduta e corretta, Monduzzi Editoriale, 2014.

[3] J. FLAVIN, S. RIONERO, Qualitative estimates for partial differential equations. An introduction. Boca Raton, Florida: CRC Press, 1996.

[4] T. MANACORDA, Introduzione alla termomeccanica dei continui, QUMI, ed. Pitagora.

[5] S. RIONERO, Lezioni di Meccanica Razionale, ed. Liguori.

[6] J. SERRIN, Mathematical principles of Classical Fluid Mechanics, Handbuk der Phisick VIII/1, 1959.

[7] C. TRUESDELL, The elements of continuum Mechanics, ed. SpringerVerlag.

Altro materiale didattico

MODULO I
Appunti del docente e altri documenti condivisi con gli studenti in una cartella Dropbox
MODULO II
Appunti del docente e altri documenti condivisi con gli studenti in una cartella Dropbox

Programmazione del corso

MODULO I
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Equazione della corda vibrante e interpretazione fisica dei risultatii	1,2,3
2	Equazione del calore e principio del massimo	1,2,3,4
3	Equazione di Laplace, problema di Dirichlet in un dominio sferico	1,2,3
4	Superficie caratteristica per equazioni iperbiliche	1,2,3
5	Equazione delle onde in R^3	1,2,3,4
MODULO II
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Teorema del trasporto e applicazioni	1,2
2	Formula fondamentale della cinematica dei continui. Condizione di rigidità	1,2,4
3	Equazioni fondametali della meccanica dei continui	1,2,3, 5
4	Fluidi non viscosi e fluidi Stokesiani	1,2,4,5
5	Equazioni di Navier Stokes	1, 6,
6	Moti laminari	1,6

Verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

MODULO I
L'esame finale consiste in una prova orale durante la quale il candidato dimostra di aver assimilato gli argomenti trattati nel corso (saranno privilegiati la comprensione, il ragionamento e la capacità di costruire esempi).

La prova potrà, a scelta dello studente, essere suddivisa in più colloqui.

La prova in itinere, si svolgerà alla conclusione del primo modulo con colloquio orale individuale.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via
telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
MODULO II
L'esame finale consiste in una prova orale durante la quale il candidato dimostra di aver assimilato gli argomenti trattati nel corso (saranno privilegiati la comprensione, il ragionamento e la capacità di costruire esempi).

La prova potrà, a scelta dello studente, essere suddivisa in più colloqui.

La prova in itinere, si svolgerà alla conclusione del primo modulo con colloquio orale individuale.

La verifica dell?apprendimento potrà essere effettuata anche per via
telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

MODULO I
Equazione della corda vibrante, soluzione di d'Alembert e di Fourier. Interpretazione dei risultati

Equazione del calore. Principo del massimo e teroema di unicità e dipendenza continua dai dati iniziali

Equazione di Laplace. Problema interno di Dirichlet per un dominio sferico.

Superficie caratteristica: onde deboli.

Unicità e dipendenza continua per equazioni iperboliche
MODULO II
Formula fondamentale della cinematica dei sistemi continui

Identità di Eulero e applicazioni

Teorema del trasporto

Bilancio della massa ed equazione di continuità.

Assiomi della meccanica dei continui ed equazioni indefinite.

Tensore degli sforzi.

Teorema degli sforzi di Cauchy

Fulidi non viscosi, fluidi ideali, teroema di Bernouilli

Equazioni di Navier-Stokes

Moti laminari

Teoremi di stabilità di Serrin

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