ADVANCED MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICS

Il corso si propone di trattare alcuni formalismi e strumenti matematici di interesse nell'ambito della fisica moderna.

Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la comprensione e risoluzione di problemi di fisica avanzata, relativi principalmente alla meccanica quantistica.

Lezioni frontali

Corsi matematici della laurea triennale, in particolare il corso di istituzioni di metodi matematici della fisica.
Sono richieste conoscenze di analisi reale e complessa, differenziazione e integrazione in una o più variabili, equazioni differenziali ordinarie, algebra lineare, geometria analitica. Inoltre conoscenza elementare della meccanica quantistica.

La frequenza è obbligatoria

Richiami di spazi vettoriali finito dimensionali, operatori lineari, problemi agli autovalori. Richiami di teoria della misura, spazi L^p. Spazi euclidei, e spazio di Hilbert, basi ortonormali. Operatori in spazi di Hilbert. Serie e trasformata di Fourier. Distribuzioni. Teoria spettrale e metodi di calcolo dello spettro.
Alcune equazioni alle derivate parziali della fisica matematica.

G. Fonte, Appunti di metodi matematici della fisica, Aracne
C. Rossetti, Metodi matematici per la Fisica, Levrotto & Bella.
G. Cicogna, Metodi matematici della Fisica, Springer.

Gli appunti e altro materiale didattico saranno disponibili sul sito Web del docente:
http://www.dmi.unict.it/~falsaperla/dida.html

Esame finale orale

Spazi L^p, loro proprietà, relazioni di inclusione. Proprietà del prodotto scalare ed esempi di spazi euclidei. Teorema di Riesz-Fisher. Teorema di rappresentazione di Riesz. Categorie di operatori in spazi infinito-dimensionali e loro spettro. Autoaggiuntezza di operatori non limitati. Formule di upper e lower bounds per lo spettro di operatori autoaggiunti.