MATEMATICA DISCRETA M - Z

12 CFU - 1° e 2° semestre

Docenti titolari dell'insegnamento

SALVATORE MILICI - Modulo ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - MAT/03 - 6 CFU
VINCENZO CUTELLO - Modulo STRUTTURE DISCRETE - INF/01 - 6 CFU

Obiettivi formativi

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
1. Il corso fornisce conoscenze di geometria lineare nel piano e nello spazio dopo aver trattato la teoria dei sistemi lineari. Successivamente si esaminano argomenti di algebra lineare di base.
2. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): L’obiettivo del corso è quello di dare le nozioni di base dell’algebra lineare e della geometria analitica che servono per interpretare e descrivere i problemi nelle discipline informatiche.
3. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per affrontare problematiche tipiche della matematica discreta, risolvendo problemi classici in cui è richiesta l’applicazione di tecniche standard.
4. Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi.
5. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà le necessarie abilità comunicative acquisendo il linguaggio speciﬁco dell’algebra lineare e della geometria.
6. Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari per poter affrontare e risolvere autonomamente nuove problematiche che dovessero sorgere durante una attività lavorativa.
STRUTTURE DISCRETE
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Lo studente acquisirà le nozioni di base delle strutture matematiche discrete che sono alla base dell’informatica, e che servono per interpretare e descriverne i problemi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per affrontare ed analizzare da un punto di vista teorico le problematiche tipiche dell’informatica ed in particolare dell’algoritmica, risolvendo problemi classici in cui è richiesta l’applicazione di tecniche standard.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà le necessarie abilità comunicative ed il linguaggio specifico della matematica discreta, e del suo uso in informatica.

Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari per poter affrontare e risolvere autonomamente nuove problematiche che dovessero sorgere durante la sua attività lavorativa come informatico.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Lezioni frontali.
STRUTTURE DISCRETE
Lezioni frontali per un totale di 48 ore.

Prerequisiti richiesti

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
È essenziale avere buona conoscenza degli elementi di base dell'Aritmetica, dell'Algebra Elementare, della Geometria Euclidea nel piano e nello spazio, della Geometria Analitica del piano e della trigonometria.
STRUTTURE DISCRETE
È essenziale avere buona conoscenza degli elementi di base dell'Aritmetica e dell'Algebra Elementare,

Frequenza lezioni

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Le risorse principali messe a disposizione dello studente sono le lezioni frontali tutte condotte alla lavagna in aula, la cui frequenza è fortemente consigliata.
STRUTTURE DISCRETE
Le risorse principali messe a disposizione dello studente sono le lezioni frontali e quindi la requenza è fortemente consigliata.

Contenuti del corso

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
1. Calcolo matriciale e sistemi lineari. Matrici. Operazioni tra matrici. Matrici notevoli. Sistemi lineari. Calcolo della matrice inversa. Determinante di una matrice quadrata e relative proprietà. Rango di una matrice. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.
2. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali e operazioni tra di essi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Ricerca degli autovalori. Similitudine tra matrici. Matrici diagonalizzabili.
3. Calcolo vettoriale. Vettori applicati. Teorema di scomposizione. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Prodotto misto. Vettori liberi.
4. Geometria lineare nel piano. Rette nel piano e loro equazioni. Parallelismo e ortogonalità. Intersezione tra rette. Fasci di rette.
5. Isometrie piane. Traslazione, rotazione attorno ad un punto. Riflessione rispetto ad una retta.
6. Geometria lineare nello spazio. Piani e rette nello spazio e loro equazioni. Parallelismo e ortogonalità. Intersezione tra piani, tra un piano e una retta e tra rette. Coordinate omogenee nello spazio. Punti e rette improprie nello spazio. Fasci di piani.
7. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Coniche riducibili e irriducibili. Classificazione delle coniche irriducibili. Riduzione di una conica a forma canonica. Studio delle coniche in forma canonica. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Tangenti.
STRUTTURE DISCRETE
Il corso, per un totale di 6CFU, è suddiviso in 4 parti di diversa ampiezza, come sotto delineato. Ognuna delle parti si conclude con uno o più casi studio di particolare importanza.

Parte I: Insiemi e Relazioni (1 CFU):

Preliminari. Insiemi ed operazioni tra di essi. Diagrammi di Venn, insieme potenza, prodotto cartesiano, partizione di insiemi. Relazioni su insiemi. Relazioni riflessive, simmetriche, transitive. Relazioni di equivalenza.

Caso Studio: Famiglie di insiemi chiuse e la congettura Union-Closed

Parte II: Grafi e Alberi (2.5 CFU):

Definizioni di base. Grafi completi. Complemento di un grafo. Grafi bipartiti. Rappresentazioni di grafi. Isomorfismi. Grafi Euleriani e grafi Hamiltoniani. Il problema del commesso viaggiatore e i grafi pesati. e. Colorazione di grafi e numero cromatico. f. Definizione di Albero e caratterizzazione. Alberi binari e loro proprietà. d. Grafi planari, formula di Eulero e caratterizzazione della planarità.

CASI STUDIO: Il problema del Crossing Number. Esempi di problemi combinatori su grafi computazionalmente complessi e loro caratterizzazione come ricerca di permutazione ottimale.

Parte III: Calcolo Combinatorio e Probabilità Discrete (1 CFU):

Permutazioni, combinazioni, disposizioni (semplici e con ripetizione). Probabilità discreta. Definizione di probabilità. Probabilità uniforme e relative proprietà. Probabilità condizionale. Indipendenza stocastica.

Caso Studio: Il paradosso di Monty Hall

Parte IV: Fondamenti di Teoria dei Numeri e metodologie di dimostrazione (1.5 CFU):

Numeri naturali, interi relativi, razionali. Divisibilità e Numeri Primi. Teorema della fattorizzazione unica degli interi. Teorema del resto. Dimostrazioni dirette ed indirette. Esempi di teoremi classici ed algoritmi numerici. Sequenze numeriche, sommatorie e produttorie. Principio di induzione matematica e dimostrazione di proprietà fondamentali. Aritmetica modulare. Congruenze.

CASI STUDIO: Il problema 3x + 1 e la Congettura di Goldbach.

Testi di riferimento

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
1. Appunti in rete nella pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/
2. S. Giuffrida, A. Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Il Cigno Galileo Galilei Roma.
3. G. Paxia, Lezioni di Geometria, Cooperativa Universitaria Libraria Catanese.
4. S. Greco, B. Matarazzo, S. Milici, Matematica Generale, G. Giapichelli Editore, 2016.
STRUTTURE DISCRETE
Nessun testo di riferimento specifico. Il docente fornirà agli studenti i lucidi del corso e quant'altro materiale necessario e sufficiente per completare ed approfondire gli argomenti discussi a lezione.

Tutto il materiale didattico sarà pubblicato su Studium.

Altro materiale didattico

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Appunti in rete alla pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/

Il materiale contenuto nel sito indicato sopra è presente anche nel portale Studium.

Programmazione del corso

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
	Argomenti	Riferimenti testi
1	1. Calcolo matriciale e sistemi lineari. Matrici. Operazioni tra matrici. Matrici notevoli. Sistemi lineari. Calcolo della matrice inversa. Determinante di una matrice quadrata e relative proprietà. Rango di una matrice. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.	1., 4.
2	2. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali e operazioni tra di essi. Dipendenza ed indipendenza lineare. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Ricerca degli autovalori. Similitudine tra matrici. Matrici diagonalizzabili.	1.,2.
3	3. Calcolo vettoriale. Vettori applicati. Teorema di scomposizione. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Prodotto misto. Vettori liberi.	1.,3.
4	4. Geometria lineare nel piano. Rette nel piano e loro equazioni. Parallelismo e ortogonalità. Intersezione tra rette. Fasci di rette.	1.,3.
5	5. Isometrie piane. Traslazione, rotazione attorno ad un punto. Riflessione rispetto ad una retta.	1.
6	6. Geometria lineare nello spazio. Piani e rette nello spazio e loro equazioni. Parallelismo e ortogonalità. Intersezione tra piani, tra un piano e una retta e tra rette. Coordinate omogenee nello spazio. Punti e rette improprie nello spazio. Fasci di piani.	1.,3.
7	7. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Coniche riducibili e irriducibili. Classificazione delle coniche irriducibili. Riduzione di una conica a forma canonica. Studio delle coniche in forma canonica. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Tangenti.	3.
STRUTTURE DISCRETE
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Insiemi e Relazioni (1 CFU): Preliminari. Insiemi ed operazioni tra di essi. Diagrammi di Venn, insieme potenza, prodotto cartesiano, partizione di insiemi.	Lucidi delle lezioni
2	Relazioni su insiemi. Relazioni riflessive, simmetriche, transitive. Relazioni di equivalenza. Famiglie di insiemi chiuse e la congettura Union-Closed	Lucidi delle lezioni
3	Calcolo Combinatorio e Probabilità Discrete (1 CFU): Permutazioni, combinazioni, disposizioni (semplici e con ripetizione). Probabilità discreta.	Lucidi delle lezioni
4	Definizione di probabilità. Probabilità uniforme e relative proprietà. Probabilità condizionale. Indipendenza stocastica. Il paradosso di Monty Hall	Lucidi delle lezioni
5	Fondamenti di Teoria dei Numeri e metodologie di dimostrazione (1.5 CFU): Numeri naturali, interi relativi, razionali. Divisibilità e Numeri Primi. Teorema della fattorizzazione unica degli interi.	Lucidi delle lezioni
6	Teorema del resto. Dimostrazioni dirette ed indirette. Esempi di teoremi classici ed algoritmi numerici. Sequenze numeriche, sommatorie e produttorie.	Lucidi delle lezioni
7	Principio di induzione matematica e dimostrazione di proprietà fondamentali. Aritmetica modulare. Congruenze. Il problema 3x + 1 e la Congettura di Goldbach.	Lucidi delle lezioni
8	Grafi e Alberi (2.5 CFU): Definizioni di base. Grafi completi. Complemento di un grafo. Grafi bipartiti.	Lucidi delle lezioni
9	Rappresentazioni di grafi. Isomorfismi. Grafi Euleriani e grafi Hamiltoniani. Il problema del commesso viaggiatore e i grafi pesati. Colorazione di grafi e numero cromatico.	Lucidi delle lezioni
10	Grafi planari, formula di Eulero e caratterizzazione della planarità. Il problema del Crossing Number.	Lucidi delle lezioni
11	Definizione di Albero e caratterizzazione. Alberi binari e loro proprietà.	Lucidi delle lezioni
12	Esempi di problemi combinatori computazionalmente complessi e loro caratterizzazione come ricerca di permutazione ottimale.	Lucidi delle lezioni

Verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
L'esame consiste in una prova scritta e in un colloquio. Si accede al colloquio solo dopo aver superato la prova scritta. L'esame prevede una votazione in trentesimi. L’esame è superato se lo studente ottiene un punteggio maggiore o uguale di diciotto (18/30).

L'esame può essere sostenuto in due modi:

Tramite prove in itinere durante il periodo di espletamento del corso. In tal caso tutte le prove in itinere scritte e orali previste andranno superate entro la ﬁne del corso. I colloqui avranno luogo solo in caso di superamento delle prove in itinere scritte.

Tramite prova unica nelle sessioni d'esame. La prova unica consiste di una prova scritta che verte su tutti gli argomenti del corso e di un colloquio. Tale colloquio, come scritto sopra, avrà luogo solo in caso di superamento della prova scritta.
STRUTTURE DISCRETE
L'esame prevede un test scritto, in cui allo studente sarà chiesto di risolvere alcuni esercizi ed una prova orale, riservata agli studenti che hanno ottenuto la sufficienza nel test scritto, in cui sarà verificata la preparazione teorica dello studente sugli argomenti (definizioni e proprietà formali) trattati a lezione.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
PROVA ORALE

Matrici e sistemi lineari Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Autovettori e autovalori. Diagonalizzazione di una matrice.

PROVA SCRITTA

Esercizi riguardanti i seguenti argomenti:

Matrici e sistemi lineari. Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Autovettori e autovalori di una matrice. Diagonalizzazione di matrici. Coniche.

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