Competenze: saper calcolare i limiti di funzioni e di successioni numeriche, le derivate delle funzioni di una variabile reale, determinare il carattere di una serie numerica, calcolare integrali definiti e indefiniti.
Conoscenze: definizioni e teoremi fondamentali riguardanti il Calcolo Differenziale, le Serie numeriche ed il Calcolo Integrale.
Il corso è diviso in due parti. Nella prima parte si studia la costruzione dei numeri reali, le nozioni basilari di topologia, le funzioni di una variabile reale, le successioni numeriche. Nella seconda parte si studiano le serie numeriche e gli integrali delle funzioni di una variabile reale.
Buone conoscenze di base di aritmetica, algebra, trigonometria, geometria analitica.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza non è richiesta, seppure fortemente consigliata, per sostenere la prova di esame.
N.B.: Gli argomenti contrassegnati con * non sono conoscenze minime.
Del materiale didattico si può trovare sul sito http://studium.unict.it/dokeos/2016/
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | SISTEMI NUMERICI | Testo 1 Cap. 1 e 2, Testo 2 cap. 2, Testo 3 cap. 1,. |
2 | LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE | Testo 1 cap. 3 e 5, Testo 2 cap. 3, Testo 3 cap. 2. |
3 | FUNZIONI CONTINUE | Testo 1 cap. 5, Testo 2 cap. 4. |
4 | CALCOLO DIFFERENZIALE | Testo 1 cap. 6 e 7, Testo 2 cap. 5, Testo 3 cap. 3. |
5 | SERIE NUMERICHE | Testo 1 cap. 4, Testo 2 cap. 6, Testo 3 cap. 4. |
6 | INTEGRAZIONE SECONDO RIEMANN | Testo 1 cap. 8 e 9, Testo 2 cap. 7, Testo 3 cap. 5. |
Prove in itinere
Sono previste due prove in itinere della durata di 2 ore ciascuna. La primasi terrà durante la prima pausa didattica, la seconda alla fine del corso. È ammesso alla seconda chi abbia superato la prima. Qualora la seconda prova non fosse superata, lo studente potrà scegliere di ritentarla una sola volta durante la sessione estiva, al posto dello scritto finale. La prima prova riguarda le UDE 1,2,3,4 mentre la seconda prova riguarda le UDE 5,6.
Struttura delle prove in itinere.
La prima e la seconda prova in itinere hanno la stessa struttura e ciascuna di esse è suddivisa in Parte A e Parte B. Ogni Parte fa riferimento a specifici argomenti del corso ed è così strutturata:
presentazione di una definizione o di un esempio relativo ad un dato concetto,
enunciato e la dimostrazione di un teorema,
svolgimento di due esercizi.
Di seguito si indicano i contenuti delle Parti A e B di ciascuna prova in itinere.
Prima prova in itinere. La Parte A riguarda gli insiemi numerici e le successioni numeriche (UDE 1,2) e la Parte B riguarda limiti, continuità e calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale (UDE 2, 3,4).
Seconda prova in itinere.La Parte A riguarda le serie numeriche (UDE 5) e la Parte B riguarda l’integrazione secondo Riemann (UDE 6).
Valutazione delle prove in itinere.
Il massimo voto ottenibile in ciascuna prova in itinere è pari a 26/30.Il voto finale sarà la media aritmetica dei voti conseguiti nelle due prove in itinere. La prova orale è facoltativa e verte su tutti gli argomenti del corso. Ciascuna prova in itinere si intende superata se lo studente ha totalizzato almeno 18/30. Tale punteggio è ottenibile se e solo se sono verificate tutte le condizioni seguenti:
Presentazione di entrambe le definizioni contenute nelle Parti A e B.
Presentazione dell’enunciato e della dimostrazione di un teorema.
Svolgimento completo di un esercizio che non sia dello stesso gruppo del teorema di cui al punto precedente.
Prova scritta completa
In alternativa, o non avendo superato le prove in itinere, si sostiene una unica prova d'esame composta da una prova scritta e una successiva prova orale.
Struttura della prova completa.
La prova scritta è suddivisa in tre parti. Nella Parte A vengono proposti cinque brevi esercizi riguardanti tutto il programma del corso; nella Parte B vengono proposti due esercizi sui contenuti riguardanti la prima prova in itinere; nella Parte C vengono proposti due esercizi sui contenuti riguardanti la seconda prova in itinere.
Valutazione della prova completa.
La prova scritta si intende superata se lo studente ha totalizzato un punteggio pari ad almeno 18/30. Si ottiene la sufficienza (18/30) se e solo se lo studente svolge correttamente tre quesiti della Parte A, un esercizio della Parte B e un esercizio della Parte C.
Esempi di domande: Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema sul limite delle funzioni monotone, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Derivabilità implica continuità, Teorema di Fermat, Caratterizzazione funzioni crescenti tramite segno derivata prima, Funzioni a derivata nulla, Teoremi della radice e del rapporto, Teorema di Leibnitz, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità funzioni continue e delle funzioni monotone, Funzioni integrabili in senso improprio e in senso generalizzato.
Esempi di esercizi: limiti di successioni e di funzioni, studio dell'andamento di una funzione, determinazione del carattere di una serie, calcolo di integrali definiti e indefiniti.