ANALISI MATEMATICA I F - O

A fine corso lo studente sapra' tracciare ed interpretare il grafico di una funzione di una variabile, calcolare l'area di rettangoloidi.

Alla fine del corso si acquisianno conscenze sia teoriche sia pratiche sui principali contenuti del corso.

Conoscenza e capacità di comprensione: Comprensione e assimilazione delle definizioni e dei principali risultati dell’analisi matematica di base, per funzioni di una variabile reale, necessari per la trattazione e modellizzazione dei problemi derivanti dalle scienze applicate.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Acquisizione di un appropriato livello di autonomia nella conoscenza teorica e nell’utilizzo degli strumenti analitici di base.

Autonomia di giudizio: Capacità di riflessione e di calcolo. Capacità di applicare le nozioni apprese alla risoluzione di problemi ed esercizi.

Abilità comunicative: Capacità di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato.

Capacità d’apprendimento: Capacità di approfondimento e di sviluppo delle conoscenze acquisite. Capacità di usare criticamente tabelle e strumenti analitici e informatici di calcolo simbolico.

L'insegnamento si svolge mediante lezioni frontali.

Elementi di Logica Matemtica, teoria degli insiemi, equazioni e disequazioni algebriche, trigonometria.

Almeno il 50% di presenze per l'accesso all'esame finale.

N.B.: Gli aromenti contrassegnati con un asterisco devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.

1. *Insiemi e Logica. Concetti di base sugli insiemi, logica elementare.

2. *I numeri. I numeri naturali, relativi, razionali e reali. Assioma di continuita' dei numeri reali. Estremi inferiore e superiore di un insieme numerico. Valore assoluto e sue proprieta'. Radicali, potemze, logaritmi. Principio di induzione. Numeri complessi.

3. *Funzioni di una variabile reale. Concetto di funzione. Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Funzioni elementari. Funzioni iperboliche. Funzioni composte e funzioni inverse.

4. *Limiti e continuita'. Successioni numeriche. Definizione di limite. Teroemi fondamentali sui limiti. Calcolo dei limiti. Il numero di Nepero. Confronti e e stime asintotiche. Limiti di funzioni, continuita', asintoti. Teoremi fondamentali sui limiti di funzioni. Calcolo dei limiti. Limiti notevoli. Confronti e stime asintotiche. Grafico di una funzione. Proprieta' fondamentali delle funzioni continue.

5. *Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata di una funzione. Interpretazione geometrica e meccanica della derivata. Derivate delle funzioni elementari. Punti angolosi, cispidi e flessi a tangente verticale. Regole di calcolo delle derivate. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte ed inverse. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale e loro conseguenze. Estremi assoluti e relativi di una funzione. Derivate successive di un funzione. Concavita', convessita' e flessi a tangente obliqua di una funzione. Approssimazione di una funzione.

6. *Serie numeriche. Definizione di serie. Esempi di serie numeriche. Algebra delle serie. Teoremi fondamentali sulle serie. Serie a termini non negativi. Serie a termini di segno variabile. Serie numeriche notevoli.

7. *Calcolo integrale per funzioni di una variabile. Definizione di integrale di Riemannn. Classi di funzioni integrabili. Proprieta' dell'integrale. Primitiva di una funzione. Definizione di integrale indefinito. Legame tra integrale di Riemann ed integrale indefinito. Calcolo di integrali indefiniti e definiti di tipi di funzioni notevoli. Applicazioni fisiche e geometriche. Integrali generalizzati.

[1] Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.

[2] N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori Editore.

Il materiale didattico consiste negli appunti dettati a lezione e nei libri di testo consigliati.

L'esame e' unico, solo scritto e suddiviso in due parti: parte pratica e parte teorica (seguente la parte pratica).

La parte pratica dell'esame consta, di norma, di 4 esercizi e dura 3 ore.

La parte teorica dell'esame consta, di norma, di tre quesiti e dura 1,5 ora.

Le due prove vengono espletate nel medesimo appello di esame.

La commissione valuta l'intero elaborato ed esprime un unico voto in trentesimi. Il voto minimo per superare l'esame e' di 18/30.

Forme differenziali (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding)

Relazione tra derivabilita' e differenziabilita' per una funzione di due variabili (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).

Estremi condizionati di una funzione (knowledge and understanding, applying knowledge and understanding).