METODI ANALITICI PER L'INGEGNERIA II

L'insegnamento ha lo scopo di fornire competenze teoriche e tecniche risolutive per lo studio delle serie e successioni di funzioni, nell’ambito del calcolo differenziale, per l’integrazione delle funzioni reali di due o più variabili reali e per la risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie

Didattica frontale con esercitazioni in aula.

Conoscenze teoriche e delle tecniche risolutive riguardanti le successioni numeriche, il calcolo differenziale ed integrale per le funzioni reali di una variabile reale e le serie numeriche.

Obbligatoria.

• Successioni di funzioni: generalità; convergenza puntuale e uniforme; teorema di continuità del limite; teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e derivata; esercizi.
  
• Serie di funzioni: generalità; convergenza semplice, uniforme assoluta e totale; teorema di continuità della somma; teoremi di integrazione e derivazione per serie; esercizi.
  
• Serie di potenze: generalità; raggio di convergenza; teoremi di convergenza; criteri del rapporto e della radice; esercizi.
  
• Serie di Taylor e di MacLaurin: condizioni di sviluppabilità; sviluppi notevoli delle funzioni e^x, sen(x), cos(x), log(1+x), arctan(x), (1+x)^r e arcsen(x); esercizi.
  
• Serie di Fourier: serie trigonometriche; sviluppabilità delle funzioni periodiche; teorema di convergenza; esercizi.
  
• Elementi di topologia di R^2: spazi metrici; insiemi aperti e chiusi; punti interni, esterni e di frontiera; punti di accumulazione e punti isolati; chiusura, derivato e frontiera di un insieme; domini; insiemi limitati, connessi e compatti.
  
• Funzioni di due variabili: generalità; limiti; funzioni continue; teoremi di Weierstrass, di Cantor e di esistenza dei valori intermedi; derivate parziali; teorema di Schwarz; differenziabilità; derivata di una funzione composta; derivate di ordine superiore; derivate direzionali; significato geometrico del gradiente; funzioni a gradiente nullo su un connesso; formula di Taylor al secondo ordine; massimi e minimi relativi; esercizi.
  
• Funzioni di n variabili: generalità; limiti; continuità; differenziabilità; derivate parziali; derivate direzionali; regola di derivazione delle funzioni composte; estremi relativi.
  
• Funzioni implicite: generalità; teorema del Dini; funzioni implicite nel caso di n variabili e sistemi; massimi e minimi vincolati; teorema dei moltiplicatori di Lagrange; esercizi.
  
• Equazioni differenziali: generalità; equazioni differenziali del 1° ordine lineari; equazioni differenziali del 2° ordine lineari; equazioni differenziali a coefficienti costanti; esistenza e unicità locale e globale per il problema di Cauchy; metodi risolutivi per equazioni differenziali a variabili separabili e di Bernoulli; esercizi.
  
• Integrali curvilinei e forme differenziali: curve regolari; rappresentazione parametrica; integrali curvilinei; teoremi di caratterizzazione delle forme differenziali esatte e chiuse; campi vettoriali conservativi; esercizi.
  
• Integrali doppi e tripli: generalità; formule di riduzione; teorema di Guldino; cambiamenti di coordinate per il calcolo degli integrali doppi e tripli; formule di Gauss-Green; teoremi della divergenza e di Stokes in R^2; esercizi.
  
• Superfici regolari: definizioni; piano tangente e versore normale; area di una superficie; integrali di superficie; flusso di un campo vettoriale; teorema di Gauss; superfici con bordo e teorema di Stokes; esercizi.
  

• N. Fusco, P. Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore – Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea
  
• P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Matematica, vol. 2 tomi 1, 2,3, e 4, Liguori Editore.
  
• S.Salsa e A. Squellati, Esercizi di analisi matematica 2, Zanichelli

L’esame è costituito da una prova scritta suddivisa in due parti e da una prova orale facoltativa. Supera la prova scritta chi totalizza un punteggio di almeno 9/15 in ciascuna delle due parti. Per sostenere la prova orale occorre aver superato la prova scritta.

• Studiare la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni assegnata.
• Scrivere lo sviluppo in serie di Fourier del prolungamento periodico di una funzione.
• Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di una funzione f(x,y) assegnata.
• Teorema del Dini per le funzioni implicite.
• Risoluzione di equazioni differenziali lineari ordinarie.
• Calcolo di integrali doppi in domini normali.
• Integrali di forme differenziali lungo una curva.