ISTITUZIONI GEOMETRIA SUPERIORE

12 CFU - 1° e 2° semestre

Docente titolare dell'insegnamento

ANGELO BELLA

Obiettivi formativi

MODULO 1
Validi per entrambi i moduli. Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Una parte del corso fornisce gli strumenti di Teoria degli Insiemi che verranno poi applicati ad alcuni argomenti di Topologia Generale. Un'altra parte considera i fondamenti della Topologia Algebrica. Introduzione alla geometria geometria differenziale.
MODULO 2
Validi per entrambi i moduli. Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Una parte del corso fornisce gli strumenti di Teoria degli Insiemi che verranno poi applicati ad alcuni argomenti di Topologia Generale. Un'altra parte considera i fondamenti della Topologia Algebrica. Introduzione alla geometria geometria differenziale.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

MODULO 1
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
MODULO 2
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.

Prerequisiti richiesti

MODULO 1
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.
MODULO 2
Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarita' con la logica matematica elementare.

Frequenza lezioni

MODULO 1
Fortemente consigliata.
MODULO 2
Fortemente consigliata.

Contenuti del corso

MODULO 1
Introduzione alla Teoria degli Insiemi. Numeri ordinali e cardinali. Filtri e Ultrafiltri. Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Complementi di Topologia Generale.
MODULO 2
Omotopia tra funzioni e cammini. Costruzione del gruppo fondamentale e calcolo di esso in casi notevoli. Alcune applicazioni. Il teorema del punto fisso in dimensione 2. Il teorema della curva di Jordan. Introduzione alle varità differenziabili.

Testi di riferimento

MODULO 1
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti.
MODULO 2
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti il Trattato Topologia di M. Manetti

Altro materiale didattico

MODULO 1
Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.
MODULO 2
Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

Programmazione del corso

MODULO 1
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Gli assiomi della teoria degli insiemi. Buon ordinamenti.	1
2	I numeri ordinali e la loro relazione con i buon ordinamenti.	1
3	Equipotenza e cardinalita'. I numeri cardinali e la loro aritmetica.	1
4	La nozione di cofinalita' di un cardinale. Cardinali regolari e teorema di Koenig.	1
5	L'ipotesi del continuo.	1
6	Cardinali misurabili.	1
7	Applicazioni dell'induzione transfinita.	1
8	Filtri e ultrafiltri. Il numero degli ultrafiltri liberi su un insieme.	1
9	Ultrafiltri speciali sugli interi. Esistenza di ultrafiltri selettivi.	1
10	Lo spazio topologico degli ultrafiltri sugli interi. Proprieta' della compattificazione di Cech-Stone.	1
11	Applicazioni alla numerabile e alla sequenziale compattezza.	1
12	Lo spazio topologico degli ultrafiltri liberi sugli interi. Il teorema di non omogeneita' di Rudin.	1
MODULO 2
	Argomenti	Riferimenti testi
1	Complementi sugli assiomi di separazione. Il lemma di Urysohn e il teorema di estenzione di Tietze.	1
2	Disugualianze cardinali.	1
3	Topologia in un prodotto arbitrario di spazi. Separabilita' e cellularita' di un prodotto.	1
4	Compattezza e teorema di Tychonoff.	1
5	Spazi metrici completi e teorema di Baire.	1
6	Omotopia tra funzioni continue e tra spazi topologici.	1
7	Omotopia tra cammini e gruppo fondamentale di uno spazio topologico.	1
8	Retratti, retratti per deformazione e spazi contraibili.	1
9	Un criterio sufficiente per la semplice connessione. Il gruppo fondamentale della sfera.	1
10	Spazi proiettivi reali e complessi. Semplice connessione dello spazio proiettivo complesso.	1
11	Il gruppo fondamentale della circonferenza. Applicazioni e teorema del punto fisso di Brouwer in dimensione due.	1
12	Il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale e il teorema di Borsuk-Ulam.	1
13	Il teorema della curva di Jordan.	1

Verifica dell'apprendimento

MODALITÀ DI VERIFICA DELL'APPRENDIMENTO

MODULO 1
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
MODULO 2
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.

ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI

MODULO 1
Definizione di ordinale e sue proprieta'.

Il teorema di Tychonoff.

Il gruppo fondamentale della sfera.
MODULO 2
Il gruppo fondamentale della sfera.

Il teorema del punto fisso.

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