MATEMATICA DISCRETA A - L

1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): L’obiettivo del corso è quello di dare le nozioni di base dell’algebra lineare, della geometria analitica, della teoria dei numeri e della combinatorica che servono per interpretare e descrivere i problemi nelle discipline informatiche.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per affrontare problematiche tipiche della matematica discreta, risolvendo problemi classici in cui è richiesta l’applicazione di tecniche standard.
3. Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi.
4. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà le necessarie abilità comunicative acquisendo il linguaggio specifico della matematica discreta.
5. Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari per poter affrontare e risolvere autonomamente nuove problematiche che dovessero sorgere durante una attività lavorativa.

Lezioni frontali.

È essenziale avere buona conoscenza degli elementi di base dell'Aritmetica, dell'Algebra Elementare, della Geometria Euclidea nel piano e nello spazio, della Geometria Analitica del piano e della Trigonometria.

Le risorse principali messe a disposizione dello studente sono le lezioni frontali tutte condotte alla lavagna in aula, la cui frequenza è fortemente consigliata.

PARTE A - Primo periodo didattico

1. Preliminari. Insiemi ed operazioni tra di essi. Applicazioni. Relazioni. Relazioni di equivalenza e di ordinamento parziali. Cardinalità di un insieme. Operazioni algebriche binarie. Strutture algebriche: gruppi, campi.

2. Teoria dei numeri. Numeri naturali. Numeri interi relativi. Principi di induzione. Teorema di divisione. Massimo comune divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.). Sistemi di numerazione. Congruenze. Equazioni di congruenze. Sistemi di congruenze e teorema cinese del resto. Teorema di Fermat. Applicazioni alla crittografia.

3. Calcolo combinatorio. Regola del prodotto e regola della somma. Permutazioni, combinazioni,disposizioni (semplici e con ripetizione). Formula di Stifel e identità di Vandermonde. Binomio di Newton. Distribuzione di n biglie in k urne. Numero di Stirling di seconda specie. Principio di inclusione ed esclusione. Grafi: definizioni ed esempi. Rappresentazioni di un grafo. Alberi.

4. Probabilità discreta. Definizione di probabilità. Probabilità uniforme e relative proprietà. Probabilità condizionale. Indipendenza stocastica.

5. Calcolo matriciale e sistemi lineari. Matrici. Operazioni tra matrici. Matrici notevoli. Sistemi lineari. Calcolo della matrice inversa. Determinante di una matrice quadrata e relative proprietà. Rango di una matrice. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.

PARTE B - Secondo periodo didattico

1. Calcolo vettoriale. Vettori applicati. Teorema di scomposizione. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Prodotto misto. Vettori liberi.

2. Geometria lineare nel piano. Rette nel piano e loro equazioni. Parallelismo e ortogonalità. Intersezione mfra rette. Coordinate omogenee nel piano. Fasci di rette.

3. Isometrie piane. Traslazione, rotazione attorno ad un punto. Riflessione rispetto ad una retta.

4. Geometria lineare nello spazio. Piani e rette nello spazio e loro equazioni. Parallelismo e ortogonalità. Intersezione tra piani, tra un piano e una retta e tra rette. Coordinate omogenee nello spazio. Punti e rette improprie nello spazio. Fasci di piani.

5. Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali e operazioni tra di essi. Sottospazio somma. Lineare indipendenza e lineare dipendenza. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Basi ordinate di uno spazio vettoriale.

6. Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare. Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Proprietà delle applicazioni lineari. Rango di una applicazione lineare. Cambiamenti di base. Formule di trasformazione delle componenti. Matrici associate ad una applicazione lineare. Matrici simili. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Ricerca degli autovalori e degli autospazi ad essi associati. Endomorfismi semplici. Matrici diagonalizzabili. Similitudine tra matrici.

1. Appunti in rete nella pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/
2. S. Giuffrida, A. Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Il Cigno Galileo Galilei Roma.
3. G. Paxia, Lezioni di Geometria, Cooperativa Universitaria Libraria Catanese.
4. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Mc Graw Hill.

Appunti in rete alla pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/

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L'esame consiste in una prova scritta e in un colloquio. Si accede al colloquio solo dopo aver superato la prova scritta. L'esame prevede una votazione in trentesimi. L’esame è superato se lo studente ottiene un punteggio maggiore o uguale di diciotto (18/30).

L'esame può essere sostenuto in due modi:

• Tramite prove in itinere durante il periodo di espletamento del corso. In tal caso tutte le prove in itinere scritte e orali previste andranno superate entro la fine del corso. I colloqui avranno luogo solo in caso di superamento delle prove in itinere scritte.
• Tramite prova unica nelle sessioni d'esame. La prova unica consiste di una prova scritta che verte su tutti gli argomenti del corso e di un colloquio. Tale colloquio, come scritto sopra, avrà luogo solo in caso di superamento della prova scritta.

PROVA ORALE

Insiemi. Potenza di un insieme. Teoria dei numeri. Calcolo combinatorio. Principio di inclusione ed esclusione. Matrici e sistemi lineari. Probabilità discreta. Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Autovettori ed endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice.

PROVA SCRITTA

Esercizi riguardanti i seguenti argomenti:

Principio di induzione. Congruenze e sistemi di congruenze. Massimo comune divisiore. Calcolo combinatorio. Equazioni diofantee. Matrici e sistemi lineari. Probabilità discreta. Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Studio di una applicazione lineare. Autovettori. Studio della semplicità di un endomorfismo. Diagonalizzazione di matrici.