Si intende innanzitutto introdurre lo studente al linguaggio e al rigore necessari per lo studio dei concetti essenziali inerenti l'Algebra Lineare e la Geometria analitica: fra questi, teoria degli spazi vettoriali, il calcolo matriciale, i sistemi lineari, le applicazioni lineari, la diagonalizzazione di matrici, rette e piani nello spazio, coniche nel piano e quadriche nello spazio.
Lo studente alla fine del corso sarà in grado di: calcolare il rango di una matrice, risolvere sistemi lineari, calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale e determinarne una base, studiare applicazioni lineari tra spazi vettoriali, calcolare autovettori e autovalori di endomorfismi, diagonalizzare una matrice, risolvere problemi di geometria lineare inerenti putti, rette e piani nello spazio, di classificare e studiare coniche nel piano, di studiare fasci di coniche, di classificare quadriche nello spazio.
Lo studente affronterà vari aspetti teorici degli argomenti affrontati, affinando le capacità logiche allo scopo di utilizzare con rigore alcuni significativi metodi dimostrativi. Tali dimostrazioni saranno presentate in modo tale da cogliere ogni singolo e minimo passaggio necessario al raggiungimento dell'obiettivo. Inoltre, per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo, sia in aula sia a casa.
Studiando l'Algebra Lineare e la Geometria e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.
Lo studente avrà acquisito, tramite l'assimilazione di simbolismi e strumenti, le competenze necessarie per l'utilizzo dei concetti e delle metologie dell'algebra lineare e della geometria durante il prosieguo degli studi.
Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli studenti saranno invitati a svolgere autonomamente esercizi scelti, anche durante le ore di lezione.
Risoluzione di equazioni e disequazioni. Trigonometria.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.
Algebra Lineare:
Geometria:
Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con * si possono omettere.
Argomenti | Riferimenti testi | |
1 | Introduzione alla teoria degli insiemi. Introduzione ai campi e spazi vettoriali. Determinante di una matrice. Calcolo del rango e riduzione di una matrice. Risoluzione dei sistemi lineari. Tempo richiesto: 9 ore | Libro di teoria: capitoli 1,3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
2 | Operazioni con le matrici. Tempo richiesto: 2 ore | Libro di teoria: capitolo 3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
3 | Spazi vettoriali. Generatori e insiemi liberi. Sottospazi. Base e componenti rispetto a una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Tempo richiesto: 9 ore | Libro di teoria: capitolo 2 Libro di esercizi: capitolo 2 |
4 | Somma e intersezione di spazi vettoriali. Estrazione di una base da un sistema di generatori e completamento a base di un insieme libero. Tempo richiesto: 2 ore | Libro di teoria: capitolo 2 Libro di esercizi: capitolo 2 |
5 | Applicazioni lineari e loro assegnazione. Studio di un’applicazione lineare. Calcolo di immagini e controimmagini. Tempo richiesto: 10 ore | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitoli 3,4 |
6 | Matrici di cambio base e matrici simili. Operazioni con applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo ,5 |
7 | Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice. Tempo richiesto: 9 ore | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 6 |
8 | Applicazioni sotto condizione. Restrizioni ed estensioni di applicazioni lineari. Tempo richiesto: 2 ore. | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitoli 7,8 |
9 | Generalità sul calcolo vettoriale. Coordinate cartesiane e coordinate omogenee. Assegnazione di una retta e di un piano e loro equazioni. Punti impropri. Intersezioni. Parallelismo e ortogonalità. Fasci di rette e piani. Distanze. Tempo richiesto: 10 ore | Libro di teoria: capitoli 1, 2, 3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
10 | Angoli. Proiezioni ortogonali. Rette bisettrici e piani bisettori. Simmetrie. Luoghi di rette. 3 ore | Libro di teoria: capitoli 1, 2, 3 Libro di esercizi: capitolo 1 |
11 | Coniche e matrici associate. Cambianti di coordinate nel piano, invarianti ortogonali ed equazioni ridotte di una conica. Classificazione delle coniche. Circonferenze. Rette tangenti. Fasci di coniche. Tempo richiesto: 8 ore | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo 2 |
12 | Studio completo delle coniche. Coniche sotto condizione. Tempo richiesto: 4 ore. | Libro di teoria: capitolo 4 Libro di esercizi: capitolo 2 |
13 | Quadriche e matrici associate. Quadriche irriducibili. Vertici di una quadrica e quadriche degeneri. Conica all’infinito. Coni e cilindri. Equazioni ridotte di una quadrica. Classificazione delle quadriche non degeneri. Tempo richiesto: 7 ore. | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 3 |
14 | Tangenza. Coniche sezione di una quadrica. Sfere. Tempo richiesto: 2 ore. | Libro di teoria: capitolo 5 Libro di esercizi: capitolo 3 |
PROVA D'ESAME
La prova d'esame è composta da una prova scritta e una prova orale obbligatoria, cui si accede dopo aver superato la prova scritta (superamento della prova con 12/30).
PROVE IN ITINERE
Durante lo svolgimento delle lezioni sono previste due prove in itinere, entrambe della durata di due ore, riservate esclusivamente agli studenti del primo anno.
Lo studente è tenuto a frequentare almeno il 70% delle lezioni del corso per poter sostenere le prove in itinere. La frequenza è, comunque, consigliata per sostenere la prova d’esame.
La prima prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nelle Unità Didattiche 1,2,3,4. Il superamento della prima prova in itinere permette di acquisire fino a 15 (superamento della prova con voto pari a 7).
La seconda prova in itinere è costituita da esercizi in accordo alle competenze erogate nelle Unità Didattiche 5,6,7. La partecipazione alla seconda prova è indipendente dalla partecipazione alla prima e dal risultato della prima prova eventualmente sostenuta. Questa seconda prova permette di ottenere un voto massimo di 15 (superamento della prova con voto pari a 7).
Lo studente che abbia superato entrambe le prove in itinere deve integrare le due prove in itinere con la prova orale da svolgere negli appelli regolari (entro la fine dell'a.a.), per il superamento dell'esame.
Lo studente che abbia superato una sola delle due prove in itinere deve integrare la prova in itinere superata con una prova scritta riguardante la parte del programma rimanente. Il superamento di questa prova scritta (che avviene con un voto di 7/15) consente di accedere all'orale.
Esercizi di Algebra Lineare
Esercizi di Geometria